Mostre que um subespaço é denso em se, e somente se, .
Passo 1
O enunciado pede para mostrar a equivalência entre “ é denso em ” e “”. Aqui é um espaço de Hilbert com produto interno , é um subespaço e
Lembramos que “ é denso em ” significa , onde M é o fecho de M.
Passo 2
Mostramos primeiro que
M^perp=(M)^perp
De fato, se xin M^perp então lang<= x,mrang<==0 para todo min M. Como M é o conjunto de limites de sequências em M, a continuidade do produto interno garante lang<= x,yrang<==0 para todo yinM, logo xin(M)^perp. O recíproco é imediato, pois MsubsetM.
Passo 3
Agora, se M é denso em H, então M=H. Aplicando o resultado do Passo 2:
M^perp=(M)^perp=H^perp
Mas H^perp=0, pois o único vetor ortogonal a todo o espaço é o vetor nulo. Logo,
M denso em HLongrightarrow M^perp=0
Passo 4
Para a outra direção, usamos a identidade fundamental em espaços de Hilbert:
M=(M^perp)^perp
Uma forma de ver isso é pelo teorema de decomposição ortogonal, que afirma
H=Moplus M^perp
Tomando o complemento ortogonal em ambos os lados, obtemos M=(M^perp)^perp.
Passo 5
Se M^perp=0, então
M=(M^perp)^perp=0^perp=H,
pois o complemento de 0 é todo o espaço. Assim M=H, isto é, M é denso em H.