Seja X um espaço produto interno. Considere z in X fixo. Seja f: X K, dada por f(x)=<x, z>. Mostre que f in X^* e|f|=|z|.

Passo 1

O enunciado está em um espaço de produto interno X sobre K (real ou complexo). Foi dado um vetor fixo zin X e definido o funcional
fcolon XtoK, f(x)=lang<= x,zrang<=
Queremos mostrar duas coisas:
1. f é um funcional linear contínuo, isto é, fin X^*.
2. O seu operador‐norma satisfaz |f|=|z|.
Para isso vamos usar a linearidade do produto interno e a desigualdade de Cauchy–Schwarz.

Passo 2

Mostramos primeiro que f é linear. Para quaisquer x,yin X e escalares alpha,betain K, pela linearidade do produto interno em sua primeira coordenada (ou conjugado‐linear na segunda, conforme a convenção, mas aqui é suficiente a linearidade em x):
f(alpha x+beta y) =llang<= alpha x+beta y,,zrrang<= =alphalang<= x,zrang<=+betalang<= y,zrang<= =alpha f(x)+beta f(y)
Logo, f é linear.

Passo 3

Mostramos que f é limitado e estimamos |f|. Usando a desigualdade de Cauchy–Schwarz, para todo xin X temos
l|f(x)r| =l|lang<= x,zrang<=r| <=|x|;|z|
Pela definição de norma de um funcional (operador‐norma),
|f|=supsubstackxin X|x|=1l|f(x)r| <=sup|x|=1|x|;|z| =|z|
Isto mostra que |f|<=|z|.

Passo 4

Para obter a igualdade, basta encontrar algum x de norma 1 que maximize |f(x)|. Se z=0, então fequiv0 e |f|=0=|z|. Se zneq0, defina
x0=z|z|,
que satisfaz |x0|=1. Então
f(x0)=llang<= x0,zrrang<= =llang<= z|z|,,zrrang<= =|z|^2|z| =|z|
Logo l|f(x0)r|=|z|, o que implica
|f| =sup|x|=1l|f(x)r| >=l|f(x0)r| =|z|
Combinando com |f|<=|z|, concluímos |f|=|z|.

Resposta

Mostramos que f é linear e contínuo, portanto fin X^*, e que
|f|=|z|

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