Seja um espaço produto interno. Considere fixo. Seja , dada por . Mostre que .
Passo 1
O enunciado está em um espaço de produto interno sobre (real ou complexo). Foi dado um vetor fixo e definido o funcional
Queremos mostrar duas coisas: . é um funcional linear contínuo, isto é, . . O seu operador‐norma satisfaz .
Para isso vamos usar a linearidade do produto interno e a desigualdade de Cauchy–Schwarz.
Passo 2
Mostramos primeiro que é linear. Para quaisquer e escalares , pela linearidade do produto interno em sua primeira coordenada (ou conjugado‐linear na segunda, conforme a convenção, mas aqui é suficiente a linearidade em ):
Logo, é linear.
Passo 3
Mostramos que é limitado e estimamos . Usando a desigualdade de Cauchy–Schwarz, para todo temos
Pela definição de norma de um funcional (operador‐norma),