Determine os valores e vectores próprios das seguintes matrizes
[ccc3 & -2 & -6 -2 & 3 & 6 2 & -1 & -4]

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os autovalores lambda e os autovetores não nulos v da matriz
A = 3 & -2 & -6 -2 & 3 & 6 2 & -1 & -4
Este é um problema de autovalores e autovetores: vamos primeiro montar o polinômio característico det(A-lambda I)=0 e em seguida, para cada raiz lambda, resolver (A-lambda I)v=0.

Passo 2

Calculamos o determinante de A-lambda I:
A - lambda I = 3-lambda & -2 & -6 -2 & 3-lambda & 6 2 & -1 & -4-lambda
Fazendo a expansão pela primeira linha,
det(A-lambda I) =(3-lambda)det3-lambda&6-1&-4-lambda -(-2)det-2&62&-4-lambda -6det-2&3-lambda2&-1
Calculando cada menor e somando, chega-se ao polinômio
det(A-lambda I) =lambda^3 - 2lambda^2 - lambda + 2

Passo 3

Agora fatoramos o polinômio característico:
lambda^3 - 2lambda^2 - lambda + 2 =(lambda-2)(lambda^2-1) =(lambda-2)(lambda-1)(lambda+1)
Logo, os autovalores são
lambda1 = 1, lambda2 = -1, lambda3 = 2

Passo 4

Para resolvemos , isto é,
Da primeira linha vem . Da terceira linha vem . Substituindo na terceira, obtemos e então . Um autovetor associado é

Passo 5

Para resolvemos ,
Da primeira linha . Da segunda linha gera . Substituindo, . Logo um autovetor é

Passo 6

Para resolvemos ,
Da primeira linha . Da segunda linha obtém-se . Então e . Um autovetor é

Resposta

Os autovalores e autovetores de A são:
lambda = 1, v = 2-11; lambda = -1, v = 1-11; lambda = 2, v = 2-21

Exercícios relacionados