Mostre que W=(x,-3 x) mid x in R é um subespaço vetorial de R^2.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
W = (x,-3x)mid xinR
é um subespaço vetorial de R^2.
Para isso, vamos usar a definição de subespaço: devemos verificar que
  1. W não é vazio (contém o vetor zero),
  2. W é fechado sob soma de vetores,
  3. W é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Mostramos que o vetor zero de R^2 pertence a W. Basta tomar x=0 e observar que
(0,-3cdot 0) = (0,0)in W

Passo 3

Fechamento sob soma: sejam
v1 = (x1,-3x1)in W e v2 = (x2,-3x2)in W
Então
v1 + v2 = (x1 + x2,,-3x1 - 3x2) = l(x1 + x2,,-3(x1 + x2)r)
Como x1 + x2inR, segue que v1+v2in W.

Passo 4

Fechamento sob escalar: seja alphainR e
v = (x,-3x)in W
Então
alpha v = (alpha x,,-3alpha x) = l(alpha x,,-3(alpha x)r)
Como alpha xinR, concluímos que alpha vin W.

Resposta

Como W contém o vetor zero e é fechado sob soma e multiplicação por escalar, W é um subespaço vetorial de R^2.

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