Considere R com as operações usuais +e cdot. Defina novas operações em R por:
& u oplus v=u+v+2, & r odot v=r cdot v+2(r-1)
Verifique se (R, oplus, odot) é um espaço vetorial real.

Passo 1

O enunciado nos dá o conjunto R com as operações
uoplus v = u + v + 2,
rodot v = r,v + 2(r-1),
e nos pede para verificar se (R,oplus,odot) satisfaz os axiomas de espaço vetorial sobre R. Vamos checar primeiro que (R,oplus) é um grupo abeliano e depois a compatibilidade do produto escalar com a soma vetorial e escalar.

Passo 2

Verificamos fechamento, comutatividade e associatividade de oplus:
  • Fechamento: se u,vinR, então u+v+2inR.
  • Comutatividade: uoplus v = u+v+2 = v+u+2 = voplus u
  • Associatividade: para u,v,winR, (uoplus v)oplus w = (u+v+2)+w+2 = u+v+w+4 e uoplus (voplus w) = u+(v+w+2)+2 = u+v+w+4 Logo oplus é associativa.

Passo 3

Encontramos o elemento neutro e o inverso aditivo de oplus:
  • Neutro e satisfaz uoplus e = u. Logo u + e + 2 = u implies e = -2
  • Inverso de u satisfaz uoplus w = -2. Logo u + w + 2 = -2 implies w = -4 - u
Portanto (R,oplus) é de fato um grupo abeliano com neutro -2 e inverso -u-4.

Passo 4

Verificamos os axiomas envolvendo o produto escalar odot:
  1. Identidade escalar: 1odot v = 1cdot v + 2(1-1) = v
  2. Anulação por escalar zero: 0odot v = 0cdot v + 2(0-1) = -2, que coincide com o elemento neutro de oplus.
  3. Distributividade escalar sobre soma vetorial: rodot(uoplus v) = r(u+v+2) + 2(r-1) = ru + rv + 2r + 2r - 2 = (ru+2(r-1)) + (rv+2(r-1)) + 2 = rodot u ;oplus; rodot v
  4. Distributividade sobre soma de escalares: (r+s)odot v = (r+s)v + 2(r+s-1) = rv+sv +2r+2s-2 = (rv+2(r-1)) oplus (sv+2(s-1)) = rodot v ;oplus; sodot v
  5. Associatividade de escalares: rodot(sodot v) = r(sv+2(s-1)) + 2(r-1) = rs,v + 2rs -2 = (rs)odot v
Todos os axiomas de espaço vetorial ficam satisfeitos.

Resposta

(R,oplus,odot) é um espaço vetorial sobre R.

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