Considere
com as operações usuais
. Defina novas operações em
por:
Verifique se
é um espaço vetorial real.
Passo 1
O enunciado nos dá o conjunto
com as operações
e nos pede para verificar se
satisfaz os axiomas de espaço vetorial sobre
. Vamos checar primeiro que
é um grupo abeliano e depois a compatibilidade do produto escalar com a soma vetorial e escalar.
Passo 2
Verificamos fechamento, comutatividade e associatividade de
:
- Fechamento: se
, então . - Comutatividade:
- Associatividade: para
, e Logo é associativa.
Passo 3
Encontramos o elemento neutro e o inverso aditivo de
:
- Neutro
satisfaz . Logo - Inverso de
satisfaz . Logo
Portanto
é de fato um grupo abeliano com neutro
e inverso
.
Passo 4
Verificamos os axiomas envolvendo o produto escalar
:
- Identidade escalar:
- Anulação por escalar zero:
que coincide com o elemento neutro de . - Distributividade escalar sobre soma vetorial:
- Distributividade sobre soma de escalares:
- Associatividade de escalares:
Todos os axiomas de espaço vetorial ficam satisfeitos.