Sejam A=[lll2 & 0 & 1 1 & 1 & 1 0 & 0 & 1], B=[rrr-2 & 0 & 0 0 & 12 & 0 0 & 0 & 13] e c=[r4 -2 1]. Responda os itens a seguir.
(b) (1 ponto) Encontre as bases dos auto-espaços de A e identifique os autovetores de A, associados aos respectivos autovalores.

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos as bases dos auto-espaços de A e, com isso, os autovetores de A associados a cada autovalor. O conteúdo é cálculo de autovalores e resolução de sistemas (A-lambda I)x=0.

Passo 2

Como A é triangular superior, seus autovalores são os elementos da diagonal:
lambda1=2, lambda2=1, lambda3=1
O autovalor lambda=2 tem multiplicidade algébrica 1 e lambda=1 tem multiplicidade algébrica 2.

Passo 3

Para lambda=2 resolvemos
(A-2I)x=0 com A-2I = 0&0&1 1&-1&1 0&0&-1 , x=(x,y,z)^T
As equações são
z=0, x-y+z=0, -z=0
Daí z=0 e x=y. Um vetor livre escolhe x=y=1, z=0, logo um gerador é
v2=(1,1,0)^T
A base do auto-espaço de lambda=2 é (1,1,0)^T.

Passo 4

Para lambda=1 resolvemos
(A-I)x=0 com A-I = 1&0&1 1&0&1 0&0&0
As equações coincidentes são
x+z=0,
e não aparecem restrições sobre y. Logo x=-z, y livre e z livre. Podemos escolher dois vetores independentes:
para (y,z)=(1,0):;(x,y,z)=(0,1,0)^T, para (y,z)=(0,1):;(x,y,z)=(-1,0,1)^T
A base do auto-espaço de lambda=1 é (0,1,0)^T,,(-1,0,1)^T.

Resposta

Base do auto-espaço de lambda=2: (1,1,0)^T, autovetor (1,1,0)^T.
Base do auto-espaço de lambda=1: (0,1,0)^T,,(-1,0,1)^T, autovetores (0,1,0)^T e (-1,0,1)^T.

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