Sejam p1(x)=x^3+2 x^2+2, p2(x)=-x^2+4 x+2, p3(x)=2 x^3-3 x, p4(x)=-3 x^3+3 x^2+2 x, p5(x)=-x^3+8 x^2-2 x+2 e p(x)=-x^3+6 x^2+6 x+6. Sendo A=>=rp1, p2, p3, p4, p5, responda as perguntas a seguir, justificando as respostas:
(a) O conjunto p1, p2, p3, p4, p5 é linearmente dependente ou linearmente independente?

Passo 1

O enunciado nos dá cinco polinômios
;p1,p2,p3,p4,p5in P3(R),
isto é, todos de grau no máximo 3, e pergunta se o conjunto p1,p2,p3,p4,p5 é linearmente independente ou dependente.
O conteúdo aqui é teoria de espaços vetoriais, mais especificamente independência linear e dimensão de P3(R).

Passo 2

Sabemos que o espaço P3(R) de todos os polinômios de grau <=3 tem dimensão 4; isto é, qualquer base de P3(R) tem exatamente 4 vetores.
Um resultado fundamental é:
em um espaço vetorial de dimensão n,;qualquer conjunto com mais de n;vetores é linearmente dependente çãé

Passo 3

Aqui temos 5 polinômios em P3(R) e a dimensão desse espaço é 4. Logo, por terem mais vetores do que a dimensão do espaço, eles necessariamente são linearmente dependentes.

Resposta

O conjunto p1,p2,p3,p4,p5 é linearmente dependente.

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