Sejam
,
e
. Sendo
, responda as perguntas a seguir, justificando as respostas:
(a) O conjunto
é linearmente dependente ou linearmente independente?
(a) O conjunto
Passo 1
O enunciado nos dá cinco polinômios
,
isto é, todos de grau no máximo , e pergunta se o conjunto
é linearmente independente ou dependente.
O conteúdo aqui é teoria de espaços vetoriais, mais especificamente independência linear e dimensão de .
isto é, todos de grau no máximo
O conteúdo aqui é teoria de espaços vetoriais, mais especificamente independência linear e dimensão de
Passo 2
Sabemos que o espaço
de todos os polinômios de grau
tem dimensão
; isto é, qualquer base de
tem exatamente
vetores.
Um resultado fundamental é:
Um resultado fundamental é:
Passo 3
Aqui temos
polinômios em
e a dimensão desse espaço é
. Logo, por terem mais vetores do que a dimensão do espaço, eles necessariamente são linearmente dependentes.
Resposta
O conjunto
é linearmente dependente.