Mostre que:
S=(x, y+z) mid x-y=0 e z-5 y=0 é um subespaço vetorial de V=R^3.

Passo 1

O enunciado define
V = R^3
e
S = (x,y,z)in V mid x - y = 0 e z - 5y = 0
Queremos mostrar que S é um subespaço de V. Para isso, vamos usar a definição de subespaço:
  1. Sneqvarnothing (geralmente verificando que o vetor zero está em S),
  2. se u,vin S então u+vin S,
  3. se uin S e lambdainR então lambda uin S.

Passo 2

Verificamos que o vetor zero de V satisfaz as duas equações:
0 - 0 = 0 e 0 - 5cdot 0 = 0
Logo (0,0,0)in S, portanto Sneqvarnothing.

Passo 3

Sejam u=(x1,y1,z1) e v=(x2,y2,z2) em S. Então
x1 - y1 = 0,; z1 - 5y1 = 0, x2 - y2 = 0,; z2 - 5y2 = 0
Considere u+v=(x1+x2,;y1+y2,;z1+z2). Então
(x1+x2) - (y1+y2) = (x1 - y1) + (x2 - y2) = 0 + 0 = 0,
(z1+z2) - 5,(y1+y2) = (z1 - 5y1) + (z2 - 5y2) = 0 + 0 = 0
Logo u+v também satisfaz as duas equações e u+vin S. Assim S é fechado sob adição.

Passo 4

Seja u=(x,y,z)in S e lambdainR. Então
x - y = 0, z - 5y = 0
Considere lambda u=(lambda x,;lambda y,;lambda z). Temos
lambda x - lambda y = lambda,(x - y) = lambdacdot 0 = 0,
lambda z - 5,(lambda y) = lambda,(z - 5y) = lambdacdot 0 = 0
Logo lambda uin S, e S é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 5

Como alternativa, podemos parametrizar as soluções: das equações x=y e z=5y segue
S = (y,y,5y)mid yinR = ;y,(1,1,5)mid yinR = Span(1,1,5),
que é, por definição, um subespaço de R^3.

Resposta

S é um subespaço vetorial de R^3.

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