Mostre que
é subespaço vetorial de . Além disso,

Passo 1

O enunciado define
W = 2a & a+2b[6pt]0 & a-b:a,binR
e pede para mostrar que W é subespaço vetorial de M2(R) e, em seguida, verificar a pertença das matrizes
0&-20&1 e 0&23&1 a W.
Para provar que W é subespaço basta mostrar que
1) Wneqemptyset (contém a matriz nula),
2) está fechado sob soma,
3) está fechado sob multiplicação por escalar.]

Passo 2

Mostramos que a matriz nula
0=0&00&0
pertence a W. Basta escolher a=0 e b=0 na forma geral de um elemento de W, pois então
2cdot0 & 0+2cdot00 & 0-0 =0&00&0
Logo, W não é vazio.

Passo 3

Sejam
X=2a & a+2b0 & a-bin W e Y=2c & c+2d0 & c-din W
Então a soma é
X+Y =2(a+c) & (a+c)+2(b+d)[3pt]0 & (a+c)-(b+d),
que ainda está em W com os parâmetros a'=a+c e b'=b+d.
Para lambdainR temos
lambda X =2(lambda a) & (lambda a)+2(lambda b)[3pt]0 & (lambda a)-(lambda b),
que também está em W com (a',b')=(lambda a,lambda b).
Portanto, W é fechado sob soma e multiplicação por escalar e, concluímos, é subespaço de M2(R).]

Passo 4

(i) Queremos saber se
A=0&-20&1
pertence a W. Igualando
2a=0, a+2b=-2, a-b=1,
da primeira equação vem a=0. Substituindo em a+2b=-2 obtemos 2b=-2Rightarrow b=-1, e em a-b=1 0-(-1)=1, consistente. Logo existem a,b tais que Ain W.

Passo 5

(ii) Para
B=0&23&1
note que todo elemento de W tem entrada (2,1) igual a zero, mas em B essa entrada é 3. Não há escolha de a,b que forneça ;0mapsto3. Assim Bnotin W.

Resposta

W é subespaço vetorial de M2(R).
(i) Sim, 0&-20&1in W.
(ii) Não, 0&23&1notin W.

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