Por que os seguintes subconjuntos não são subespaços de R^3 ?
W=(x, y, z) in R^3: x=1;

Passo 1

O enunciado pede para verificar que W=(x,y,z)inR^3mid x=1 não é subespaço de R^3. Vamos usar a definição de subespaço vetorial, que exige: conter o vetor zero, ser fechado sob soma e ser fechado sob multiplicação escalar.

Passo 2

Testamos se o vetor zero pertence a W. O vetor zero é (0,0,0), mas em W a primeira componente deve ser 1, logo
(0,0,0)notin W
Isso já impede W de ser subespaço, pois todo subespaço deve conter o vetor zero.

Passo 3

Analisamos o fechamento sob soma. Tomemos u=(1,y1,z1)in W e v=(1,y2,z2)in W. Então
u+v = (2,,y1+y2,,z1+z2),
cuja primeira componente é 2neq1. Logo u+vnotin W, falhando o fechamento sob soma.

Passo 4

Avaliamos o fechamento sob multiplicação escalar. Para u=(1,y,z)in W e alphainR,
alpha u = (alpha,,alpha y,,alpha z),
que pertence a W somente se alpha=1. Para qualquer alphaneq1, alpha unotin W, então não há fechamento escalar.

Resposta

W não é subespaço de R^3 pois não contém o vetor zero e não é fechado nem sob soma nem sob multiplicação escalar.

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