Por que os seguintes subconjuntos não são subespaços de
?
;
Passo 1
O enunciado pede para verificar que
não é subespaço de
. Vamos usar a definição de subespaço vetorial, que exige: conter o vetor zero, ser fechado sob soma e ser fechado sob multiplicação escalar.
Passo 2
Testamos se o vetor zero pertence a
. O vetor zero é
, mas em
a primeira componente deve ser
, logo
Isso já impede
de ser subespaço, pois todo subespaço deve conter o vetor zero.
Passo 3
Analisamos o fechamento sob soma. Tomemos
e
. Então
cuja primeira componente é
. Logo
, falhando o fechamento sob soma.
Passo 4
Avaliamos o fechamento sob multiplicação escalar. Para
e
,
que pertence a
somente se
. Para qualquer
,
, então não há fechamento escalar.