Mostre que
implica em
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se
, então
O conteúdo aqui é teoria de conjuntos, mais especificamente prova de igualdade de conjuntos via dupla inclusão, usando definição de união, diferença e subconjunto.
Passo 2
Mostramos primeiro que
Seja
. Então ou
ou
.
- Se
, como , segue . - Se
, por definição e . Em particular .
Em ambos os casos. Logo
Passo 3
Agora mostramos que
Seja
. Como
, existem apenas duas possibilidades:
- Caso
, então por definição de união. - Caso
, mas , então , e portanto .
Em ambos os casos. Logo
Passo 4
Pela dupla inclusão
concluímos que