Mostre que A \subset B implica em A \cup(B-A)=B.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se \,A\subseteq B, então
A\cup\bigl(B\setminus A\bigr)=B.
O conteúdo aqui é teoria de conjuntos, mais especificamente prova de igualdade de conjuntos via dupla inclusão, usando definição de união, diferença e subconjunto.

Passo 2

Mostramos primeiro que
A\cup\bigl(B\setminus A\bigr)\subseteq B.
Seja x\in A\cup(B\setminus A). Então ou x\in A ou x\in B\setminus A.
  • Se x\in A, como A\subseteq B, segue x\in B.
  • Se x\in B\setminus A, por definição x\in B e x\notin A. Em particular x\in B.
    Em ambos os casos x\in B. Logo
A\cup(B\setminus A)\subseteq B.

Passo 3

Agora mostramos que
B\subseteq A\cup\bigl(B\setminus A\bigr).
Seja x\in B. Como A\subseteq B, existem apenas duas possibilidades:
  • Caso x\in A, então x\in A\cup(B\setminus A) por definição de união.
  • Caso x\notin A, mas x\in B, então x\in B\setminus A, e portanto x\in A\cup(B\setminus A).
    Em ambos os casos x\in A\cup(B\setminus A). Logo
B\subseteq A\cup(B\setminus A).

Passo 4

Pela dupla inclusão
A\cup(B\setminus A)\subseteq B \quad\text{e}\quad B\subseteq A\cup(B\setminus A),
concluímos que
A\cup(B\setminus A)=B.

Resposta

A\subseteq B\implies A\cup(B\setminus A)=B.

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