Mostre que substituindo o gerador v_{i} de S por v_{i}+c v_{k}, para c \in \mathbb{R}, o subespaço não é alterado, isto é,
S=\left\langle v_{1}, \ldots, v_{i}, \ldots, v_{k}, \ldots, v_{m}\right\rangle=\left\langle v_{1}, \ldots, v_{i}+c v_{k}, \ldots, v_{k}, \ldots, v_{m}\right\rangle .

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que, se
S=\bigl\langle v_{1},\dots,v_{i},\dots,v_{k},\dots,v_{m}\bigr\rangle,
então ao substituir o gerador v_{i} por v_{i}+c\,v_{k} (com c\in\mathbb{R}) o subespaço gerado permanece o mesmo. Vamos usar a definição de span e provar as duas inclusões mútuas entre os spans.

Passo 2

Mostramos
\bigl\langle v_{1},\dots,v_{i},\dots,v_{m}\bigr\rangle \;\subseteq\; \bigl\langle v_{1},\dots,v_{i}+c\,v_{k},\dots,v_{m}\bigr\rangle.
Note que na nova família temos o vetor v_{i}+c\,v_{k} e também v_{k}. Logo
v_{i} = (v_{i}+c\,v_{k}) \;-\; c\,v_{k},
ou seja, v_{i} é combinação linear dos vetores da segunda família. Como todos os outros v_{j} ( j\neq i) permanecem, fica claro que todo vetor gerado originalmente está no novo span.

Passo 3

Agora mostramos
\bigl\langle v_{1},\dots,v_{i}+c\,v_{k},\dots,v_{m}\bigr\rangle \;\subseteq\; \bigl\langle v_{1},\dots,v_{i},\dots,v_{m}\bigr\rangle.
Basta ver que o “novo” gerador aparece como combinação linear dos antigos:
v_{i}+c\,v_{k} = 1\cdot v_{i} + c\cdot v_{k}.
Como v_{i} e v_{k} estão na geração original, segue que qualquer combinação dos vetores na segunda família já está no span original.

Passo 4

Das inclusões dos passos anteriores concluímos que os dois spans coincidem, isto é,
\bigl\langle v_{1},\dots,v_{i},\dots,v_{m}\bigr\rangle = \bigl\langle v_{1},\dots,v_{i}+c\,v_{k},\dots,v_{m}\bigr\rangle.

Resposta

\bigl\langle v_{1},\ldots,v_{i},\ldots,v_{k},\ldots,v_{m}\bigr\rangle = \bigl\langle v_{1},\ldots,v_{i}+c\,v_{k},\ldots,v_{k},\ldots,v_{m}\bigr\rangle.

Exercícios relacionados