Mostre que substituindo o gerador
de
por
, para
, o subespaço não é alterado, isto é,
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que, se
então ao substituir o gerador
por
(com
) o subespaço gerado permanece o mesmo. Vamos usar a definição de span e provar as duas inclusões mútuas entre os spans.
Passo 2
Mostramos
Note que na nova família temos o vetor
e também
. Logo
ou seja,
é combinação linear dos vetores da segunda família. Como todos os outros
(
) permanecem, fica claro que todo vetor gerado originalmente está no novo span.
Passo 3
Agora mostramos
Basta ver que o “novo” gerador aparece como combinação linear dos antigos:
Como
e
estão na geração original, segue que qualquer combinação dos vetores na segunda família já está no span original.
Passo 4
Das inclusões dos passos anteriores concluímos que os dois spans coincidem, isto é,