Mostre que substituindo o gerador v_{i} de S por v_{i}+c v_{k}, para c \in \mathbb{R}, o subespaço não é alterado, isto é,
S=\left\langle v_{1}, \ldots, v_{i}, \ldots, v_{k}, \ldots, v_{m}\right\rangle=\left\langle v_{1}, \ldots, v_{i}+c v_{k}, \ldots, v_{k}, \ldots, v_{m}\right\rangle .

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dado
S = \langle v_{1}, \dots, v_{i}, \dots, v_{k}, \dots, v_{m}\rangle
ao substituir v_{i} por v_{i}+c\,v_{k} (com c\in\mathbb{R}), o espaço gerado não muda, ou seja,
S = \langle v_{1}, \dots, v_{i}+c\,v_{k}, \dots, v_{k}, \dots, v_{m}\rangle.
O conteúdo usado aqui é o conceito de span de um conjunto de vetores e a prova por inclusão mútua de subespaços.

Passo 2

Mostramos S \subseteq S', onde
S' = \langle v_{1}, \dots, v_{i}+c\,v_{k}, \dots, v_{k}, \dots, v_{m}\rangle.
Para isso, basta ver que cada gerador de S pertence a S':
  • Se j\neq i, então v_{j} já está explicitamente em S'.
  • Para v_{i}, reescrevemos
v_{i} = (v_{i}+c\,v_{k}) - c\,v_{k},
mostrando que v_{i}\in S' porque é combinação linear de v_{i}+c\,v_{k} e v_{k}.
Logo todo gerador de S está em S', e portanto S\subseteq S'.

Passo 3

Mostramos S' \subseteq S. Note que:
  • Para j\neq i, v_{j}\in S por hipótese.
  • O vetor v_{i}+c\,v_{k} é combinação linear de v_{i} e v_{k}, ou seja,
v_{i}+c\,v_{k} = 1\cdot v_{i} + c\cdot v_{k}\in S.
Assim todos os geradores de S' estão em S, e fica S'\subseteq S.

Resposta

Como temos S\subseteq S' e S'\subseteq S, concluímos
\langle v_{1}, \dots, v_{i}, \dots, v_{k}, \dots, v_{m}\rangle = \langle v_{1}, \dots, v_{i}+c\,v_{k}, \dots, v_{k}, \dots, v_{m}\rangle.

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