Mostre que substituindo o gerador
de
por
, para
, o subespaço não é alterado, isto é,
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dado
ao substituir
por
(com
), o espaço gerado não muda, ou seja,
O conteúdo usado aqui é o conceito de span de um conjunto de vetores e a prova por inclusão mútua de subespaços.
Passo 2
Mostramos
, onde
Para isso, basta ver que cada gerador de
pertence a
:
- Se
, então já está explicitamente em . - Para
, reescrevemos
mostrando que
porque é combinação linear de
e
.
Logo todo gerador de está em
, e portanto
.
Logo todo gerador de
Passo 3
Mostramos
. Note que:
- Para
, por hipótese. - O vetor
é combinação linear de e , ou seja,
Assim todos os geradores de
estão em
, e fica
.
Resposta
Como temos
e
, concluímos