Mostre que as sucessões (ii) e (iv), apesar de não convergirem, contêm subsucessões convergentes. Dê um exemplo de uma sucessão que não contém nenhuma subsucessão convergente.
Passo 1
O enunciado pede três coisas:
- Mostrar que as sucessões (ii) e (iv), apesar de não convergirem, contêm subsucessões convergentes.
- Dar um exemplo de uma sucessão que não contém nenhuma subsucessão convergente.
Informação disponível: o enunciado menciona “sucessões (ii) e (iv)” mas NÃO forneceu as fórmulas ou termos dessas duas sucessões. Portanto não há como demonstrar especificamente sobre aquelas duas sem que os seus termos sejam fornecidos.
O que posso fazer (e vou fazer): explicar a teoria e o método que se usa para provar esse tipo de afirmação, dar exemplos concretos de sucessões que ilustram exatamente o que o enunciado pede (uma que não converge mas tem subsucessões convergentes — duas construções diferentes) e dar um exemplo claro de uma sucessão que não contém nenhuma subsucessão convergente. Assim você entende o raciocínio e pode aplicar à (ii) e (iv) assim que me enviar os termos, se quiser.
O que posso fazer (e vou fazer): explicar a teoria e o método que se usa para provar esse tipo de afirmação, dar exemplos concretos de sucessões que ilustram exatamente o que o enunciado pede (uma que não converge mas tem subsucessões convergentes — duas construções diferentes) e dar um exemplo claro de uma sucessão que não contém nenhuma subsucessão convergente. Assim você entende o raciocínio e pode aplicar à (ii) e (iv) assim que me enviar os termos, se quiser.
Passo 2
Definições fundamentais (muito claras, para ninguém se perder).
- Sucessão: uma lista ordenada de números
onde cada é um número real. - Convergência: dizemos que
converge para se, para todo , existe tal que para todo vale . Escrevemos . - Subsucessão: dado um índice crescente
, a sequência é uma subsucessão de . - Objetivo prático na prova: mostrar que mesmo quando
não converge, é possível encontrar uma sequência crescente de índices tal que converge.
Passo 3
Uma ferramenta-chave: o teorema de Bolzano–Weierstrass (forma prática).
- Enunciado prático: toda sucessão limitada em
(isto é, existe com para todo ) tem uma subsucessão convergente. - Intuição rápida: como os termos ficam dentro de um intervalo finito, podemos “concentrar” uma infinidade de termos em subintervalos cada vez menores e extrair uma subsequência cujos termos ficam cada vez mais próximos — isso garante convergência.
Vou dar uma prova construtiva (muito útil na prova): método dos intervalos aninhados.
- Comece com um intervalo que contém todos os termos, por exemplo
. - Divida em dois subintervalos iguais. Pelo princípio da casa dos pombos, pelo menos um dos dois subintervalos contém infinitos termos da sucessão. Escolha esse subintervalo e chame-o
. - Divida
ao meio e repita: existe um subintervalo com comprimento metade do anterior que contém infinitos termos. - Continuando, obtemos uma cadeia de intervalos fechados aninhados
com comprimentos tendendo a zero. Pelo princípio dos intervalos aninhados, existe um único ponto pertencente a todos eles. - Agora construímos a subsucessão: escolha
tal que . Em seguida escolha com (possível pois contém infinitos termos), e assim por diante. Assim obtemos . - Como o diâmetro de
tende a zero e todos os estão em , segue que . - Conclusão: qualquer sucessão limitada tem uma subsucessão convergente. Esse é um método construtivo que também serve para encontrar a subsucessão na prática.
Passo 4
Aplicação prática do teorema ao enunciado (interpretação útil).
- Se as sucessões (ii) e (iv) forem limitadas (o que geralmente ocorre nos exemplos típicos), então pelo Bolzano–Weierstrass cada uma tem uma subsucessão convergente — mesmo que a sucessão inteira não convirja.
- Se alguma delas for ilimitada, ainda assim pode haver subsucessões convergentes (ex.: pegar termos que ficam dentro de um bloco limitado), mas não é garantido em todos os casos. Por isso, para afirmar sobre (ii) e (iv) especificamente seria necessário conhecer os termos. Já que não os temos, mostro exemplos concretos que cobrem o caso pedido.
Passo 5
Exemplo concreto 1 (ilustrando um caso clássico):
.
- Primeiro observe que
não converge: os termos alternam entre e , logo não existe único que satisfaça a definição de limite. - Mas tem subsucessões convergentes: tomar os índices pares
dá a subsucessão portanto .
Tomar os índices ímparesdá portanto . - Conclusão:
não converge, mas contém subsucessões convergentes (duas, neste caso, com limites distintos).
Passo 6
Exemplo concreto 2 (variação com aproximação):
.
- Novamente
não converge, porque os limites das paridades seriam diferentes: os termos pares tendem a e os ímpares tendem a . - Subsucssões:
- Para
: e . - Para
: e .
- Para
- Esse exemplo é didático pois mostra uma sucessão que “se aproxima” dos dois valores
, produzindo subsucessões convergentes para cada valor.
Passo 7
Exemplo de sucessão que não contém nenhuma subsucessão convergente.
- Um exemplo simples e claro é
. - Prova que não existe subsucessão convergente: seja
qualquer subsucessão. Como (índices crescentes), temos . Logo . Em particular, não existe limite finito; nenhuma subsucessão converge em . - Observação: em
“convergir” significa convergir para um número real finito; divergir para não conta como convergência. Assim não possui subsucessão convergente em .
Passo 8
Dicas rápidas para a prova (prático, para você usar de verdade):
- Se a sucessão é limitada, invoque diretamente Bolzano–Weierstrass e, se pedir, faça a construção por intervalos aninhados para extrair a subsucessão.
- Se a sucessão tem um padrão (ex.: alterna), experimente separar índices pares e ímpares — frequentemente isso fornece subsucessões convergentes.
- Para mostrar que NÃO existe subsucessão convergente, mostre que todo termo (ou todo termo de qualquer subsucessão) fica arbitrariamente grande em módulo (ex.: cresce para
), impedindo limite finito.
Resposta
Não é possível analisar especificamente as sucessões (ii) e (iv) porque os termos dessas sucessões não foram fornecidos. Em vez disso, apresento exemplos que atendem ao enunciado:
(ii) Exemplo:
. Não converge, mas contém subsucessões convergentes:
e
.
(iv) Exemplo:
. Não converge, mas contém subsucessões convergentes:
e
.
Exemplo de sucessão que não contém nenhuma subsucessão convergente:
(toda subsucessão diverge para
, logo não converge em
).