Mostre que as sucessões (ii) e (iv), apesar de não convergirem, contêm subsucessões convergentes. Dê um exemplo de uma sucessão que não contém nenhuma subsucessão convergente.

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
  • Mostrar que as sucessões (ii) e (iv), apesar de não convergirem, contêm subsucessões convergentes.
  • Dar um exemplo de uma sucessão que não contém nenhuma subsucessão convergente.
Informação disponível: o enunciado menciona “sucessões (ii) e (iv)” mas NÃO forneceu as fórmulas ou termos dessas duas sucessões. Portanto não há como demonstrar especificamente sobre aquelas duas sem que os seus termos sejam fornecidos.
O que posso fazer (e vou fazer): explicar a teoria e o método que se usa para provar esse tipo de afirmação, dar exemplos concretos de sucessões que ilustram exatamente o que o enunciado pede (uma que não converge mas tem subsucessões convergentes — duas construções diferentes) e dar um exemplo claro de uma sucessão que não contém nenhuma subsucessão convergente. Assim você entende o raciocínio e pode aplicar à (ii) e (iv) assim que me enviar os termos, se quiser.

Passo 2

Definições fundamentais (muito claras, para ninguém se perder).
  • Sucessão: uma lista ordenada de números (x_n)_{n=1}^\infty onde cada x_n é um número real.
  • Convergência: dizemos que (x_n) converge para L se, para todo \varepsilon>0, existe N tal que para todo n\ge N vale |x_n-L|<\varepsilon. Escrevemos \displaystyle x_n \to L.
  • Subsucessão: dado um índice crescente n_1<n_2<\cdots, a sequência (x_{n_k})_{k=1}^\infty é uma subsucessão de (x_n).
  • Objetivo prático na prova: mostrar que mesmo quando (x_n) não converge, é possível encontrar uma sequência crescente de índices (n_k) tal que x_{n_k} converge.

Passo 3

Uma ferramenta-chave: o teorema de Bolzano–Weierstrass (forma prática).
  • Enunciado prático: toda sucessão limitada em \mathbb{R} (isto é, existe M com |x_n|\le M para todo n) tem uma subsucessão convergente.
  • Intuição rápida: como os termos ficam dentro de um intervalo finito, podemos “concentrar” uma infinidade de termos em subintervalos cada vez menores e extrair uma subsequência cujos termos ficam cada vez mais próximos — isso garante convergência.
Vou dar uma prova construtiva (muito útil na prova): método dos intervalos aninhados.
  • Comece com um intervalo que contém todos os termos, por exemplo [-M,M].
  • Divida em dois subintervalos iguais. Pelo princípio da casa dos pombos, pelo menos um dos dois subintervalos contém infinitos termos da sucessão. Escolha esse subintervalo e chame-o I_1.
  • Divida I_1 ao meio e repita: existe um subintervalo I_2\subset I_1 com comprimento metade do anterior que contém infinitos termos.
  • Continuando, obtemos uma cadeia de intervalos fechados aninhados I_1\supset I_2\supset I_3\supset\cdots com comprimentos tendendo a zero. Pelo princípio dos intervalos aninhados, existe um único ponto L pertencente a todos eles.
  • Agora construímos a subsucessão: escolha n_1 tal que x_{n_1}\in I_1. Em seguida escolha n_2>n_1 com x_{n_2}\in I_2 (possível pois I_2 contém infinitos termos), e assim por diante. Assim obtemos x_{n_k}\in I_k.
  • Como o diâmetro de I_k tende a zero e todos os x_{n_k} estão em I_k, segue que x_{n_k}\to L.
  • Conclusão: qualquer sucessão limitada tem uma subsucessão convergente. Esse é um método construtivo que também serve para encontrar a subsucessão na prática.

Passo 4

Aplicação prática do teorema ao enunciado (interpretação útil).
  • Se as sucessões (ii) e (iv) forem limitadas (o que geralmente ocorre nos exemplos típicos), então pelo Bolzano–Weierstrass cada uma tem uma subsucessão convergente — mesmo que a sucessão inteira não convirja.
  • Se alguma delas for ilimitada, ainda assim pode haver subsucessões convergentes (ex.: pegar termos que ficam dentro de um bloco limitado), mas não é garantido em todos os casos. Por isso, para afirmar sobre (ii) e (iv) especificamente seria necessário conhecer os termos. Já que não os temos, mostro exemplos concretos que cobrem o caso pedido.

Passo 5

Exemplo concreto 1 (ilustrando um caso clássico): \displaystyle a_n = (-1)^n.
  • Primeiro observe que a_n não converge: os termos alternam entre 1 e -1, logo não existe único L que satisfaça a definição de limite.
  • Mas tem subsucessões convergentes: tomar os índices pares n=2k dá a subsucessão a_{2k} = 1 \quad\text{para todo }k,portanto \displaystyle a_{2k}\to 1.
    Tomar os índices ímpares n=2k-1 a_{2k-1} = -1 \quad\text{para todo }k,portanto \displaystyle a_{2k-1}\to -1.
  • Conclusão: a_n=(-1)^n não converge, mas contém subsucessões convergentes (duas, neste caso, com limites distintos).

Passo 6

Exemplo concreto 2 (variação com aproximação): \displaystyle b_n = (-1)^n + \frac{1}{n}.
  • Novamente b_n não converge, porque os limites das paridades seriam diferentes: os termos pares tendem a 1 e os ímpares tendem a -1.
  • Subsucssões:
    • Para n=2k: b_{2k} = 1 + \dfrac{1}{2k} e \displaystyle b_{2k}\to 1.
    • Para n=2k-1: b_{2k-1} = -1 + \dfrac{1}{2k-1} e \displaystyle b_{2k-1}\to -1.
  • Esse exemplo é didático pois mostra uma sucessão que “se aproxima” dos dois valores \pm1, produzindo subsucessões convergentes para cada valor.

Passo 7

Exemplo de sucessão que não contém nenhuma subsucessão convergente.
  • Um exemplo simples e claro é \displaystyle c_n = n.
  • Prova que não existe subsucessão convergente: seja (c_{n_k}) qualquer subsucessão. Como n_k\ge k (índices crescentes), temos c_{n_k}=n_k\ge k. Logo c_{n_k}\to +\infty. Em particular, não existe limite finito; nenhuma subsucessão converge em \mathbb{R}.
  • Observação: em \mathbb{R} “convergir” significa convergir para um número real finito; divergir para +\infty não conta como convergência. Assim c_n=n não possui subsucessão convergente em \mathbb{R}.

Passo 8

Dicas rápidas para a prova (prático, para você usar de verdade):
  • Se a sucessão é limitada, invoque diretamente Bolzano–Weierstrass e, se pedir, faça a construção por intervalos aninhados para extrair a subsucessão.
  • Se a sucessão tem um padrão (ex.: alterna), experimente separar índices pares e ímpares — frequentemente isso fornece subsucessões convergentes.
  • Para mostrar que NÃO existe subsucessão convergente, mostre que todo termo (ou todo termo de qualquer subsucessão) fica arbitrariamente grande em módulo (ex.: cresce para +\infty), impedindo limite finito.

Resposta

Não é possível analisar especificamente as sucessões (ii) e (iv) porque os termos dessas sucessões não foram fornecidos. Em vez disso, apresento exemplos que atendem ao enunciado:
(ii) Exemplo: \displaystyle a_n = (-1)^n. Não converge, mas contém subsucessões convergentes: \displaystyle a_{2k}\to 1 e \displaystyle a_{2k-1}\to -1.
(iv) Exemplo: \displaystyle b_n = (-1)^n + \dfrac{1}{n}. Não converge, mas contém subsucessões convergentes: \displaystyle b_{2k}\to 1 e \displaystyle b_{2k-1}\to -1.
Exemplo de sucessão que não contém nenhuma subsucessão convergente: \displaystyle c_n = n (toda subsucessão diverge para +\infty, logo não converge em \mathbb{R}).

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