Dê exemplo de uma sucessão que contém subsucessões convergentes para cada n \in \mathbb{N}. (Em outras palavras, os termos da sucessão se “acumulam” em torno de todos os inteiros positivos.)
Passo 1
O enunciado pede um exemplo concreto de uma sequência cujo conjunto de termos “acumula” em torno de cada inteiro positivo, isto é: para todo n\in\mathbb{N} deve existir uma subsequência que converge a n.
Informações dadas / objetivo claro:
Queremos uma sequência (a_k)_{k\in\mathbb{N}} tal que, para cada n\in\mathbb{N}, exista uma subsequência (a_{k_j})_{j\in\mathbb{N}} com \lim_{j\to\infty} a_{k_j}=n.
Não há restrição extra (pode usar qualquer construção que cumpra isso).
Passo 2
Idéia construtiva (explicação didática e por que escolhi isso): vou construir primeiro uma família de termos que, para cada n, tem termos que se aproximam de n. A construção natural é tomar números da forma
x_{n,m}=n+\frac{1}{m},
com n\in\mathbb{N} fixo e m\in\mathbb{N} variando. Para cada n, ao fazer m\to\infty temos x_{n,m}\to n porque \dfrac{1}{m}\to0. Agora preciso transformar essa família dupla (x_{n,m})_{n,m\in\mathbb{N}} numa sequência unidimensional (a_k) — isto é, enumerar todos os pares (n,m) de forma que cada par apareça em algum termo a_k. Essa enumeração garante que, para cada n, haverá infinitos m com a_k = n+\dfrac{1}{m}, permitindo extrair a subsequência que converge a n.
Passo 3
Definição formal da sequência por enumeração diagonal (uma forma concreta de listar todos os pares (n,m)): enumere os pares (n,m)\in\mathbb{N}\times\mathbb{N} pela ordem crescente de n+m e, em cada soma fixa, por ordem crescente de n. Seja (n_k,m_k) o k-ésimo par nessa enumeração. Defina então
a_k = n_k + \frac{1}{m_k},\qquad k=1,2,3,\dots
Essa definição é explícita e bem conhecida: percorre-se a grade (n,m) em “diagonais”, garantindo que cada par apareça exatamente uma vez em algum índice k.
Passo 4
Exemplo numérico dos primeiros termos para fixar a intuição (mostra como fica a enumeração):
Para n+m=4: (1,3),(2,2),(3,1) → a_4 = 1 + 1/3,\\ a_5 = 2 + 1/2,\\ a_6 = 3 + 1/1.
E assim por diante. Já dá para ver que, para um n fixo (por exemplo n=2), aparecem infinitos termos da forma 2+1/m (com m=1,2,3,\dots) em posições diferentes da sequência.
Passo 5
Construção da subsequência que converge a um n fixo e prova do limite (epsilon‑prova, passo a passo didático):
Fixe n\in\mathbb{N}. Pela construção, para cada m\in\mathbb{N} existe algum índice k tal que a_k = n + \dfrac{1}{m} (porque todos os pares aparecem na enumeração). Portanto existem infinitos índices k com a_k da forma n+1/m.
Ordene esses índices correspondentes a m de forma que os m cresçam; isto produz uma subsequência (b_j)_{j\in\mathbb{N}} com
b_j = n + \frac{1}{m_j},
onde m_1<m_2<\cdots e m_j\to\infty quando j\to\infty.
Provar que b_j\to n: seja \varepsilon>0. Escolha M\in\mathbb{N} tal que \dfrac{1}{M}<\varepsilon (isto é sempre possível, pois 1/m\to0). Para todo j com m_j\ge M tem
Logo \lim_{j\to\infty} b_j = n pelo critério \varepsilon-N. Assim construímos explicitamente uma subsequência convergente a n.
Como n era um inteiro positivo arbitrário, isso vale para todo n\in\mathbb{N}.
Passo 6
Comentários finais e variações intuitivas (didática extra, leve e motivadora):
A ideia-chave é simples: para aproximar cada inteiro n coloque, na sequência, termos da forma n+1, n+1/2, n+1/3,\dots. Só falta combinar essas infinitas “filas” (uma para cada n) numa única sequência — a enumeração diagonal faz exatamente isso.
Alternativas possíveis: qualquer enumeração que liste todos os pares (n,m) (por exemplo usando o emparelhamento de Cantor ou a ordem lexicográfica com cuidado) funciona igualmente bem. O essencial é que, para cada n, apareçam infinitos termos com segunda coordenada arbitrariamente grande, garantindo que 1/m\to0.
Resposta
Por exemplo, defina (a_k) enumerando todos os elementos da família \{\,n+\tfrac{1}{m}:n,m\in\mathbb{N}\,\}; explicitamente, seja (n_k,m_k) a enumeração dos pares (n,m) por diagonais e tome
a_k = n_k + \frac{1}{m_k}.
Para cada n\in\mathbb{N} a subsequência formada pelos termos n+\dfrac{1}{m} (com m\to\infty) converge a n.