Mostre que:
\sum i = \frac{n(n+1)}{2}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a soma dos inteiros de 1 até n satisfaz
\sum_{i=1}^{n} i \;=\;\frac{n(n+1)}{2}.
Este é um somatório de uma progressão aritmética de primeiro termo 1, último termo n e n termos. Vamos usar o método de agrupamento de termos simétricos para chegar à fórmula.

Passo 2

Definimos
S \;=\;\sum_{i=1}^{n} i \;=\;1 + 2 + 3 + \cdots + (n-1) + n.

Passo 3

Agora escrevemos o mesmo S em ordem inversa:
S \;=\;n + (n-1) + (n-2) + \cdots + 2 + 1.

Passo 4

Somando termo a termo as duas expressões de S, obtemos
2S = \bigl(1+n\bigr) + \bigl(2+(n-1)\bigr) + \bigl(3+(n-2)\bigr) + \cdots + \bigl((n-1)+2\bigr) + \bigl(n+1\bigr).
Note que cada par dentro dos parênteses vale n+1, e há exatamente n pares. Logo,
2S = n\,(n+1).

Passo 5

Isolando S, obtemos
S = \frac{n\,(n+1)}{2}.

Resposta

\sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2}.

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