Mostre que
Passo 1
O que o enunciado pede: mostrar que a série
é identicamente nula. Informações relevantes que vamos usar (tirei estas ideias do enunciado da soma de potências):
- Considere a série de potência genérica
onde os
são coeficientes quaisquer (série formal).
- Vamos calcular as derivadas
e , formar combinações com e e reorganizar as somas para obter exatamente a série do enunciado. - O objetivo é transformar cada termo (derivadas multiplicadas por potências de
, e o próprio multiplicado por ) em somas na forma e então somá-las termo a termo.
Passo 2
Calcular
. Partimos de
Diferenciando termo a termo obtemos
Agora fazemos uma mudança de índice para escrever a soma como potência
. Colocando
(então
) temos
Renomeando
de volta para
(apenas para consistência),
Observação: a soma inicia em
porque o termo original com
vira
.
Passo 3
Calcular
. Diferenciando
termo a termo:
Fazendo a mudança de índice
(ou, alternativamente, derivando diretamente de
):
uma maneira mais direta é derivar duas vezes a partir de :
uma maneira mais direta é derivar duas vezes a partir de
Agora colocamos na forma com potência
: faça
(então
), resultando
Renomeando
para
,
Passo 4
Expressar
como soma em
. Multiplicando a expressão de
por
temos
Agora mudamos o índice para escrever potências
. Seja
, então
e a soma fica (notando que
varia a partir de
):
Como os dois primeiros termos
da expressão
são zero, podemos estender o índice para começar em
sem alterar a soma:
Passo 5
Expressar
como soma em
. Partindo de
, tem-se
Fazendo a mudança de índice
(ou diretamente reconhecendo coeficientes) obtemos
novamente usando que o termo
é zero e podemos estender a soma a partir de
.
(Explicação rápida: ao trocar índice
temos
, que é igual a
porque o termo
é nulo.)
Passo 6
Expressar
como soma em
. Isso é trivial:
Passo 7
Agora combinamos as quatro expressões para formar a combinação
Substituindo as somas obtidas nos passos anteriores temos
Como todas as somas são agora somas em
com o mesmo índice, podemos juntá-las termo a termo:
Passo 8
Conclusão final: se
é solução da equação
(ou se considerarmos a expressão acima como a combinação que queremos anular), então a série do lado direito é identicamente zero para todo
dentro do raio de convergência. Portanto