Mostre que
\sum_{n=0}^{\infty}\left[(n+2)(n+1) a_{n+2}+\ell(\ell+1) a_{n}-n(n-1) a_{n}-2 n a_{n}\right] x^{n}=0 .

Passo 1

O que o enunciado pede: mostrar que a série
\sum_{n=0}^{\infty}\left[(n+2)(n+1) a_{n+2}+\ell(\ell+1) a_{n}-n(n-1) a_{n}-2 n a_{n}\right] x^{n}=0 .
é identicamente nula. Informações relevantes que vamos usar (tirei estas ideias do enunciado da soma de potências):
  • Considere a série de potência genérica
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n,
onde os a_n são coeficientes quaisquer (série formal).
  • Vamos calcular as derivadas y'(x) e y''(x), formar combinações com x e x^2 e reorganizar as somas para obter exatamente a série do enunciado.
  • O objetivo é transformar cada termo (derivadas multiplicadas por potências de x, e o próprio y multiplicado por \ell(\ell+1)) em somas na forma \sum_{n=0}^\infty (\cdots) x^n e então somá-las termo a termo.

Passo 2

Calcular y'(x). Partimos de
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n.
Diferenciando termo a termo obtemos
y'(x)=\sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1}.
Agora fazemos uma mudança de índice para escrever a soma como potência x^n. Colocando m=n-1 (então n=m+1) temos
y'(x)=\sum_{m=0}^{\infty} (m+1) a_{m+1} x^{m}.
Renomeando m de volta para n (apenas para consistência),
\boxed{y'(x)=\sum_{n=0}^{\infty} (n+1) a_{n+1} x^{n}.}
Observação: a soma inicia em n=0 porque o termo original com n=1 vira m=0.

Passo 3

Calcular y''(x). Diferenciando y'(x) termo a termo:
y''(x)=\sum_{n=1}^{\infty} n (n+1) a_{n+1} x^{n-1}.
Fazendo a mudança de índice m=n-1 (ou, alternativamente, derivando diretamente de y):
uma maneira mais direta é derivar duas vezes a partir de y:
y''(x)=\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) a_n x^{n-2}.
Agora colocamos na forma com potência x^n: faça m=n-2 (então n=m+2), resultando
\boxed{y''(x)=\sum_{m=0}^{\infty} (m+2)(m+1) a_{m+2} x^{m}.}
Renomeando m para n,
y''(x)=\sum_{n=0}^{\infty} (n+2)(n+1) a_{n+2} x^{n}.

Passo 4

Expressar x^2 y''(x) como soma em x^n. Multiplicando a expressão de y'' por x^2 temos
x^2 y''(x)=\sum_{n=0}^{\infty} (n+2)(n+1) a_{n+2} x^{n+2}.
Agora mudamos o índice para escrever potências x^n. Seja p=n+2, então n=p-2 e a soma fica (notando que p varia a partir de 2):
x^2 y''(x)=\sum_{p=2}^{\infty} p(p-1) a_{p} x^{p}.
Como os dois primeiros termos p=0,1 da expressão \sum_{n=0}^\infty n(n-1)a_n x^n são zero, podemos estender o índice para começar em 0 sem alterar a soma:
\boxed{x^2 y''(x)=\sum_{n=0}^{\infty} n(n-1) a_{n} x^{n}.}

Passo 5

Expressar 2x y'(x) como soma em x^n. Partindo de y'(x)=\sum_{n=0}^\infty (n+1)a_{n+1} x^n, tem-se
2x y'(x)=\sum_{n=0}^{\infty} 2(n+1) a_{n+1} x^{n+1}.
Fazendo a mudança de índice p=n+1 (ou diretamente reconhecendo coeficientes) obtemos
\boxed{2x y'(x)=\sum_{n=0}^{\infty} 2n\, a_{n} x^{n},}
novamente usando que o termo n=0 é zero e podemos estender a soma a partir de 0.
(Explicação rápida: ao trocar índice p=n+1 temos 2x y'=\sum_{p=1}^\infty 2p a_p x^p, que é igual a \sum_{n=0}^\infty 2n a_n x^n porque o termo n=0 é nulo.)

Passo 6

Expressar \ell(\ell+1)y(x) como soma em x^n. Isso é trivial:
\boxed{\ell(\ell+1)y(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \ell(\ell+1) a_n x^n.}

Passo 7

Agora combinamos as quatro expressões para formar a combinação
(1-x^2)y''(x)-2x y'(x)+\ell(\ell+1)y(x).
Substituindo as somas obtidas nos passos anteriores temos
\begin{aligned} (1-x^2)y''-2x y'+\ell(\ell+1)y &= \sum_{n=0}^{\infty} (n+2)(n+1) a_{n+2} x^{n}\\\ &\quad -\sum_{n=0}^{\infty} n(n-1) a_{n} x^{n} -\sum_{n=0}^{\infty} 2n a_{n} x^{n} +\sum_{n=0}^{\infty} \ell(\ell+1) a_{n} x^{n}. \end{aligned}
Como todas as somas são agora somas em x^n com o mesmo índice, podemos juntá-las termo a termo:
\boxed{(1-x^2)y''-2x y'+\ell(\ell+1)y =\sum_{n=0}^{\infty}\left[(n+2)(n+1) a_{n+2}+\ell(\ell+1) a_{n}-n(n-1) a_{n}-2 n a_{n}\right] x^{n}.}

Passo 8

Conclusão final: se y(x) é solução da equação
(1-x^2)y''-2x y'+\ell(\ell+1)y=0
(ou se considerarmos a expressão acima como a combinação que queremos anular), então a série do lado direito é identicamente zero para todo x dentro do raio de convergência. Portanto
\boxed{\sum_{n=0}^{\infty}\left[(n+2)(n+1) a_{n+2}+\ell(\ell+1) a_{n}-n(n-1) a_{n}-2 n a_{n}\right] x^{n}=0.}

Resposta

\sum_{n=0}^{\infty}\left[(n+2)(n+1) a_{n+2}+\ell(\ell+1) a_{n}-n(n-1) a_{n}-2 n a_{n}\right] x^{n}=0 .

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