Mostre que
-2 x y^{\prime}=-2 \sum_{n=1}^{\infty} n a_{n} x^{n}
Escreva todas as somas usando potências x^{n}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a identidade
-2 x y'=-2 \sum_{n=1}^{\infty} n a_{n} x^{n}
e quer que todas as somas sejam escritas usando potências x^{n}. Vou partir da representação em série de potências da função y, que é a hipótese natural aqui:
y=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}.
Informações claras que temos:
  • As constantes a_{n} são os coeficientes da série de potências de y.
  • A série começa em n=0, portanto o termo constante é a_{0}.
  • O objetivo é obter uma expressão para -2x y' onde todas as somas apareçam com potências x^{n}.

Passo 2

Derivar termo a termo a série de potências. Regra: se y=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n} numa região onde a série converge, pode-se derivar termo a termo para obter a série para y'. Diferenciando cada termo a_{n} x^{n} obtemos n a_{n} x^{n-1}. Como o termo com n=0 é constante, sua derivada é zero. Portanto:
y'=\sum_{n=1}^{\infty} n a_{n} x^{n-1}.
Aqui expliquei: o índice começa em n=1 porque o termo n=0 0 após a diferenciação; a potência resultante é x^{n-1}.

Passo 3

Multiplicar por -2x. Agora aplicamos a multiplicação por -2x na série de y'. Podemos colocar o fator -2 fora da soma e multiplicar x dentro da soma:
-2x\,y' = -2x \sum_{n=1}^{\infty} n a_{n} x^{n-1}.
Multiplicando x por x^{n-1} obtemos x^{n}. Assim:
-2x\,y' = -2 \sum_{n=1}^{\infty} n a_{n} x^{n}.
Pronto — já está escrito com potências x^{n}.

Passo 4

(Explicação alternativa, útil para provas: mudança de índice) Para quem preferir ver explicitamente a técnica de mudar índice, parte-se de y'=\sum_{n=1}^{\infty} n a_{n} x^{n-1} e faz a substituição m=n-1. Então n=m+1 e, quando n vai de 1 a \infty, m vai de 0 a \infty. Assim:
y'=\sum_{m=0}^{\infty} (m+1) a_{m+1} x^{m}.
Multiplicando por -2x
-2x\,y'=-2x \sum_{m=0}^{\infty} (m+1) a_{m+1} x^{m}=-2\sum_{m=0}^{\infty} (m+1) a_{m+1} x^{m+1}.
Renomeando o índice n=m+1 (para voltar a usar potências x^{n} com soma começando em n=1) obtemos novamente
-2x\,y'=-2\sum_{n=1}^{\infty} n a_{n} x^{n}.

Passo 5

Resumo didático rápido:
  • Diferencie a série termo a termo: a potência cai de x^{n} para x^{n-1} e aparece o fator n.
  • Multiplique por x para ajustar a potência de volta a x^{n}.
  • Se aparecer x^{n-1}, pode-se usar mudança de índice m=n-1 para reescrever tudo em potências x^{m} (ou renomear m para n no final).

Resposta

-2 x y^{\prime}=-2 \sum_{n=1}^{\infty} n a_{n} x^{n}

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