Mostre que
Escreva todas as somas usando potências
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar a identidade
e quer que todas as somas sejam escritas usando potências
. Vou partir da representação em série de potências da função
, que é a hipótese natural aqui:
Informações claras que temos:
- As constantes
são os coeficientes da série de potências de . - A série começa em
, portanto o termo constante é . - O objetivo é obter uma expressão para
onde todas as somas apareçam com potências .
Passo 2
Derivar termo a termo a série de potências. Regra: se
numa região onde a série converge, pode-se derivar termo a termo para obter a série para
. Diferenciando cada termo
obtemos
. Como o termo com
é constante, sua derivada é zero. Portanto:
Aqui expliquei: o índice começa em
porque o termo
dá
após a diferenciação; a potência resultante é
.
Passo 3
Multiplicar por
. Agora aplicamos a multiplicação por
na série de
. Podemos colocar o fator
fora da soma e multiplicar
dentro da soma:
Multiplicando
por
obtemos
. Assim:
Pronto — já está escrito com potências
.
Passo 4
(Explicação alternativa, útil para provas: mudança de índice) Para quem preferir ver explicitamente a técnica de mudar índice, parte-se de
e faz a substituição
. Então
e, quando
vai de
a
,
vai de
a
. Assim:
Multiplicando por
dá
Renomeando o índice
(para voltar a usar potências
com soma começando em
) obtemos novamente
Passo 5
Resumo didático rápido:
- Diferencie a série termo a termo: a potência cai de
para e aparece o fator . - Multiplique por
para ajustar a potência de volta a . - Se aparecer
, pode-se usar mudança de índice para reescrever tudo em potências (ou renomear para no final).