- Mostre que
sempre que
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que
sempre que
. O que vamos usar é a soma da série geométrica e o fato de que dentro do raio de convergência podemos diferenciar uma série de potências termo a termo.
Passo 2
Para começar, lembramos a soma da série geométrica: para
vale
Passo 3
Como essa série converge absolutamente (e até uniformemente em discos
), podemos derivá-la termo a termo. Derivando ambos os lados em relação a
temos
enquanto
Passo 4
Igualando as duas expressões da derivada, concluímos que, para
,