12.1 Calcule
\mathscr{L}{\operatorname{cosh} t}(s)
usando obrigatoriamente a integral que define a transformada de Laplace.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace de \operatorname{cosh} t usando diretamente a definição
\mathscr{L}\{\operatorname{cosh} t\}(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}\operatorname{cosh} t\;dt.
O conteúdo aqui é a aplicação da definição da transformada de Laplace e a representação de \operatorname{cosh} t em termos de exponenciais.

Passo 2

Lembrando que
\operatorname{cosh} t = \frac{e^{t}+e^{-t}}{2},
substituímos na integral e escrevemos
\mathscr{L}\{\operatorname{cosh} t\}(s) =\int_{0}^{\infty}e^{-st}\,\frac{e^{t}+e^{-t}}{2}\;dt =\frac{1}{2}\int_{0}^{\infty}\bigl(e^{-(s-1)t}+e^{-(s+1)t}\bigr)\,dt.
Para que essas integrais impropriamente converjam precisamos de \Re(s)>1, pois o termo e^{-(s-1)t} exige \Re(s-1)>0.

Passo 3

Agora avaliamos cada integral separadamente. Para \Re(s)>1 vale
\int_{0}^{\infty}e^{-(s-1)t}\,dt=\frac{1}{s-1}, \qquad \int_{0}^{\infty}e^{-(s+1)t}\,dt=\frac{1}{s+1}.
Portanto
\mathscr{L}\{\operatorname{cosh} t\}(s) =\frac{1}{2}\Bigl(\frac{1}{s-1}+\frac{1}{s+1}\Bigr).

Passo 4

Para simplificar somamos as frações:
\frac{1}{s-1}+\frac{1}{s+1} =\frac{(s+1)+(s-1)}{(s-1)(s+1)} =\frac{2s}{s^{2}-1}.
Assim
\mathscr{L}\{\operatorname{cosh} t\}(s) =\frac{1}{2}\,\frac{2s}{s^{2}-1} =\frac{s}{s^{2}-1},
válido para \Re(s)>1.

Resposta

\mathscr{L}\{\operatorname{cosh} t\}(s)=\frac{s}{s^{2}-1},\quad \Re(s)>1.

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