12.2 Calcule, por integração a partir da definição,
\mathscr{L}\left\{t \mathrm{e}^{-t}\right\}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da transformada de Laplace de t e^{-t} usando a definição
\mathscr{L}\{f(t)\} = \int_{0}^{\infty} f(t)\,e^{-s t}\,dt.
Aqui f(t)=t e^{-t} e vamos usar integração por partes para resolver.

Passo 2

Substituindo f(t) na definição, obtemos
\mathscr{L}\{t e^{-t}\} = \int_{0}^{\infty} t e^{-t} \,e^{-s t}\,dt = \int_{0}^{\infty} t\,e^{-(s+1)t}\,dt.

Passo 3

Para avaliar \int_{0}^{\infty} t\,e^{-(s+1)t}\,dt fazemos integração por partes com
u = t,\quad dv = e^{-(s+1)t}\,dt \quad\Longrightarrow\quad du = dt,\quad v = -\frac{1}{s+1}e^{-(s+1)t}.
Logo,
\int_{0}^{\infty} t\,e^{-(s+1)t}\,dt = \Bigl. u\,v\Bigr|_{0}^{\infty} - \int_{0}^{\infty} v\,du = \left[-\frac{t}{s+1}e^{-(s+1)t}\right]_{0}^{\infty} + \frac{1}{s+1}\int_{0}^{\infty} e^{-(s+1)t}\,dt.
O primeiro termo vale zero e o segundo é
\frac{1}{s+1}\,\Bigl[\,-\tfrac{1}{s+1}e^{-(s+1)t}\Bigr]_{0}^{\infty} = \frac{1}{(s+1)^2}.

Resposta

\mathscr{L}\{t e^{-t}\} = \frac{1}{(s+1)^2}.

Exercícios relacionados