Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que a soma de
para todos os números naturais é igual a 1. Vamos precisar usar conhecimentos de séries infinitas e propriedades dos fatoriais para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é
. O fatorial de
é igual a
. Assim, podemos reescrever a fração da seguinte forma:
Passo 3
Agora, simplificamos a expressão:
Mas isso não simplifica diretamente. Vamos tentar outra abordagem usando decomposição de frações.
Passo 4
Observamos que:
Simplificando cada termo:
Então temos:
Passo 5
Agora, vamos somar essa expressão para
indo de 1 até infinito:
Isso cria uma série telescópica, onde muitos termos se cancelam.
Passo 6
Escrevendo os primeiros termos da soma:
Perceba que
,
, etc., se cancelam, restando apenas o primeiro termo da primeira fração e o limite do último termo.
Passo 7
Como
vai até infinito, o último termo
tende a 0. Então, a soma fica:
Resposta
1