Mostre que sum n(n+1)!=1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que a soma de n(n+1)! para todos os números naturais é igual a 1. Vamos precisar usar conhecimentos de séries infinitas e propriedades dos fatoriais para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é (n+1)!. O fatorial de n+1 é igual a (n+1) times n!. Assim, podemos reescrever a fração da seguinte forma:
n(n+1)! = n(n+1) times n!

Passo 3

Agora, simplificamos a expressão:
n(n+1) times n! = 1(n+1) times nn! = 1(n+1) times 1(n-1)!
Mas isso não simplifica diretamente. Vamos tentar outra abordagem usando decomposição de frações.

Passo 4

Observamos que:
n(n+1)! = n+1 - 1(n+1)! = n+1(n+1)! - 1(n+1)!
Simplificando cada termo:
n+1(n+1)! = 1n! e 1(n+1)! = 1(n+1)!
Então temos:
n(n+1)! = 1n! - 1(n+1)!

Passo 5

Agora, vamos somar essa expressão para n indo de 1 até infinito:
sumn=1^infty ( 1n! - 1(n+1)! )
Isso cria uma série telescópica, onde muitos termos se cancelam.

Passo 6

Escrevendo os primeiros termos da soma:
( 11! - 12! ) + ( 12! - 13! ) + ( 13! - 14! ) + dots
Perceba que 12!, 13!, etc., se cancelam, restando apenas o primeiro termo da primeira fração e o limite do último termo.

Passo 7

Como n vai até infinito, o último termo 1(n+1)! tende a 0. Então, a soma fica:
11! - 0 = 1

Resposta

1

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