Em todos os itens considere o contradomínio sendo o conjunto que torna a função sobrejetora em seu domínio (verifique a sua escolha). Determine se as seguintes funções são invertíveis (lembre que uma função é invertível se, e somente se, é bijetora, isto é, injetora e sobrejetora) e em caso afirmativo determine a sua inversa.
f(x)=x^4, x>0

Passo 1

Aqui a gente tem a função f(x)=x^4 com domínio (0,infty). O enunciado pede pra verificar se ela é invertível (ou seja, bijetora) e, em caso afirmativo, achar f^-1. Vamos precisar usar conceitos de injetividade, sobrejetividade e inversão de funções monótonas.

Passo 2

Para testar injetividade, note que a derivada é f'(x)=4x^3>0 para todo x>0. Como a derivada é sempre positiva, f é estritamente crescente em (0,infty). Funções estritamente crescentes são injetoras (se x1neq x2, então f(x1)neq f(x2)).

Passo 3

Para testar sobrejetividade, escolhemos o contradomínio igual à imagem de f, ou seja, (0,infty). Dado qualquer y>0, basta resolver y=x^4, que tem solução única x=y^1/4>0. Logo, para todo y no contradomínio existe x no domínio tal que f(x)=y, mostrando que f é sobrejetora.

Passo 4

Como f é injetora e sobrejetora sobre (0,infty), ela é bijetora e, portanto, invertível. Para achar a inversa, trocamos x por y e resolvemos y=x^4 para x, obtendo x=y^1/4. Assim, f^-1(y)=y^1/4.

Resposta

A função é bijetora de (0,infty) em (0,infty) e sua inversa é f^-1(x)=x^tfrac14.

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