Em todos os itens considere o contradomínio sendo o conjunto que torna a função sobrejetora em seu domínio (verifique a sua escolha). Determine se as seguintes funções são invertíveis (lembre que uma função é invertível se, e somente se, é bijetora, isto é, injetora e sobrejetora) e em caso afirmativo determine a sua inversa.
Passo 1
Aqui a gente tem a função
com domínio
. O enunciado pede pra verificar se ela é invertível (ou seja, bijetora) e, em caso afirmativo, achar
. Vamos precisar usar conceitos de injetividade, sobrejetividade e inversão de funções monótonas.
Passo 2
Para testar injetividade, note que a derivada é
para todo
. Como a derivada é sempre positiva,
é estritamente crescente em
. Funções estritamente crescentes são injetoras (se
, então
).
Passo 3
Para testar sobrejetividade, escolhemos o contradomínio igual à imagem de
, ou seja,
. Dado qualquer
, basta resolver
, que tem solução única
. Logo, para todo
no contradomínio existe
no domínio tal que
, mostrando que
é sobrejetora.
Passo 4
Como
é injetora e sobrejetora sobre
, ela é bijetora e, portanto, invertível. Para achar a inversa, trocamos
por
e resolvemos
para
, obtendo
. Assim,
.
Resposta
A função é bijetora de
em
e sua inversa é
.