Em todos os itens considere o contradomínio sendo o conjunto que torna a função sobrejetora em seu domínio (verifique a sua escolha). Determine se as seguintes funções são invertíveis (lembre que uma função é invertível se, e somente se, é bijetora, isto é, injetora e sobrejetora) e em caso afirmativo determine a sua inversa.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a função
, com domínio
, é invertível e, se for, achar
. O conteúdo é funções polinomiais, injetividade, sobrejetividade e inversão de funções.
Passo 2
Para ver injetividade, observamos que
. Em todo ponto do domínio
, temos
, ou seja,
é estritamente crescente em
. Assim,
é injetora.
Passo 3
Para a sobrejetividade, calculamos a imagem de
. Fazendo o polinômio na forma canônica,
Passo 4
O mínimo ocorre em
, onde
. Como para
a parábola cresce até
, a imagem é
. Escolhendo o contradomínio
, a função fica sobrejetora.
Passo 5
Como
é injetora e sobrejetora (isto é, bijetora) de
em
, ela é invertível. Para achar a inversa, chamamos
e resolvemos:
Passo 6
Mas, como
, temos
, então escolhemos o sinal positivo e obtemos
Passo 7
Substituindo
por
, a inversa fica definida em
.