Em todos os itens considere o contradomínio sendo o conjunto que torna a função sobrejetora em seu domínio (verifique a sua escolha). Determine se as seguintes funções são invertíveis (lembre que uma função é invertível se, e somente se, é bijetora, isto é, injetora e sobrejetora) e em caso afirmativo determine a sua inversa.
f(x)=x^2-4 x+3, x>2

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função f(x)=x^2-4x+3, com domínio x>2, é invertível e, se for, achar f^-1. O conteúdo é funções polinomiais, injetividade, sobrejetividade e inversão de funções.

Passo 2

Para ver injetividade, observamos que f'(x)=2x-4. Em todo ponto do domínio x>2, temos f'(x)>0, ou seja, f é estritamente crescente em (2,infty). Assim, f é injetora.

Passo 3

Para a sobrejetividade, calculamos a imagem de f. Fazendo o polinômio na forma canônica,
f(x)=x^2-4x+3=(x-2)^2-1

Passo 4

O mínimo ocorre em x=2, onde f(2)=-1. Como para x>2 a parábola cresce até +infty, a imagem é [-1,infty). Escolhendo o contradomínio [-1,infty), a função fica sobrejetora.

Passo 5

Como f é injetora e sobrejetora (isto é, bijetora) de (2,infty) em [-1,infty), ela é invertível. Para achar a inversa, chamamos y=f(x) e resolvemos:
y=(x-2)^2-1
;(x-2)^2=y+1
;x-2=pmraizy+1$

Passo 6

Mas, como x>2, temos x-2>0, então escolhemos o sinal positivo e obtemos
x=2+raizy+1

Passo 7

Substituindo y por x, a inversa fica definida em x>=-1.

Resposta

f^-1(x)=2+raizx+1, x>=-1

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