Mostre que
onde, N é o número de sítios da rede direta (número grande), v é o volume da célula elemental da rede direta, e a somatória e a integral são realizadas na primeira zona de Brillouin.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar a igualdade
onde:
-
é o número de sítios da rede direta (assumir grande); -
é o volume da célula elemental da rede direta; - a soma
e a integral são realizadas na primeira zona de Brillouin.
Ou seja: é preciso mostrar como substituir a soma discreta sobre os vetores de onda
permitidos por uma integral sobre a primeira zona de Brillouin, encontrando o fator de densidade no espaço
que é
.
Passo 2
Quantização dos
por condições de contorno periódicas — ideia física e fórmula.
Considere um cristal macroscópico com dimensões e volume total
Considere um cristal macroscópico com dimensões
Impondo condições de contorno periódicas (Bloch / Born–von Karman) as componentes de
ficam quantizadas como
onde
são inteiros. Isso significa que os pontos permitidos
formam uma grade regular no espaço
com espaçamentos
Passo 3
Volume ocupado por um ponto
na rede de
.
Cada ponto discreto “ocupa” um pequeno volume elementar no espaço
igual ao produto dos espaçamentos:
Cada ponto discreto
Portanto o volume em
-espaço associado a cada estado discreto é
. Em outras palavras, a densidade de pontos
por unidade de volume em
-espaço é
Passo 4
Substituição da soma por integral usando a densidade de pontos.
Se é uma função suficientemente suave em
, a soma sobre os pontos discretos pode ser aproximada pela integral multiplicada pela densidade de pontos:
Se
Aqui a integral está restrita à primeira zona de Brillouin (a região fundamental do espaço recíproco que contém exatamente um ponto recíproco por célula recíproca). Esta substituição fica arbitrariamente boa quando
(e portanto
) é grande.
Explique as variáveis nesta fórmula:
é o volume total do cristal, a integral é sobre a primeira zona de Brillouin e
aparece devido aos espaçamentos
nas componentes de
.
Passo 5
Relacionando
com
e
.
Pela definição, o volume total do cristal é o número de células unitárias multiplicado pelo volume de cada célula:
Pela definição, o volume total do cristal é o número de células unitárias multiplicado pelo volume de cada célula:
Substituindo isso na expressão do passo anterior obtemos
que é exatamente a igualdade pedida, válida no limite de
grande (no qual a grade de
fica muito densa).
Passo 6
Consistência com o volume da zona de Brillouin e contagem de estados.
Como verificação, a primeira zona de Brillouin (volume ) é o volume do cálice recíproco primitivo, que satisfaz a relação canônica
Como verificação, a primeira zona de Brillouin (volume
O número de pontos
na BZ (usando a densidade
) é então
ou seja, há exatamente
pontos
na primeira zona de Brillouin — consistência com o fato físico de haver uma quantidade de estados igual ao número de células (por banda). Isso confirma que o fator
é o multiplicador correto.