Mostre que
\sum_{\vec{k}} F(\vec{k})=\frac{N v}{(2 \pi)^{3}} \int F(\vec{k}) d^{3} k
onde, N é o número de sítios da rede direta (número grande), v é o volume da célula elemental da rede direta, e a somatória e a integral são realizadas na primeira zona de Brillouin.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a igualdade
\sum_{\vec{k}} F(\vec{k})=\frac{N v}{(2 \pi)^{3}} \int F(\vec{k})\, d^{3} k,
onde:
  • N é o número de sítios da rede direta (assumir grande);
  • v é o volume da célula elemental da rede direta;
  • a soma \sum_{\vec{k}} e a integral \int d^{3}k são realizadas na primeira zona de Brillouin.
Ou seja: é preciso mostrar como substituir a soma discreta sobre os vetores de onda \vec{k} permitidos por uma integral sobre a primeira zona de Brillouin, encontrando o fator de densidade no espaço \vec{k} que é \dfrac{N v}{(2\pi)^3}.

Passo 2

Quantização dos \vec{k} por condições de contorno periódicas — ideia física e fórmula.
Considere um cristal macroscópico com dimensões L_x,L_y,L_z e volume total
V = L_x L_y L_z.
Impondo condições de contorno periódicas (Bloch / Born–von Karman) as componentes de \vec{k} ficam quantizadas como
k_x=\frac{2\pi n_x}{L_x},\qquad k_y=\frac{2\pi n_y}{L_y},\qquad k_z=\frac{2\pi n_z}{L_z},
onde n_x,n_y,n_z são inteiros. Isso significa que os pontos permitidos \vec{k} formam uma grade regular no espaço \vec{k} com espaçamentos
\Delta k_x=\frac{2\pi}{L_x},\qquad \Delta k_y=\frac{2\pi}{L_y},\qquad \Delta k_z=\frac{2\pi}{L_z}.

Passo 3

Volume ocupado por um ponto \vec{k} na rede de \vec{k}.
Cada ponto discreto \vec{k} “ocupa” um pequeno volume elementar no espaço \vec{k} igual ao produto dos espaçamentos:
\Delta k_x\,\Delta k_y\,\Delta k_z=\frac{(2\pi)^3}{L_x L_y L_z}=\frac{(2\pi)^3}{V}.
Portanto o volume em \vec{k}-espaço associado a cada estado discreto é \dfrac{(2\pi)^3}{V}. Em outras palavras, a densidade de pontos \vec{k} por unidade de volume em \vec{k}-espaço é
\frac{1}{\Delta k_x\Delta k_y\Delta k_z}=\frac{V}{(2\pi)^3}.

Passo 4

Substituição da soma por integral usando a densidade de pontos.
Se F(\vec{k}) é uma função suficientemente suave em \vec{k}, a soma sobre os pontos discretos pode ser aproximada pela integral multiplicada pela densidade de pontos:
\sum_{\vec{k}} F(\vec{k}) \approx \frac{V}{(2\pi)^3}\int_{\text{BZ}} F(\vec{k})\, d^{3}k.
Aqui a integral está restrita à primeira zona de Brillouin (a região fundamental do espaço recíproco que contém exatamente um ponto recíproco por célula recíproca). Esta substituição fica arbitrariamente boa quando N (e portanto V) é grande.
Explique as variáveis nesta fórmula: V é o volume total do cristal, a integral é sobre a primeira zona de Brillouin e (2\pi)^3 aparece devido aos espaçamentos 2\pi/L_i nas componentes de \vec{k}.

Passo 5

Relacionando V com N e v.
Pela definição, o volume total do cristal é o número de células unitárias multiplicado pelo volume de cada célula:
V = N v.
Substituindo isso na expressão do passo anterior obtemos
\sum_{\vec{k}} F(\vec{k}) \approx \frac{N v}{(2\pi)^3}\int_{\text{BZ}} F(\vec{k})\, d^{3}k,
que é exatamente a igualdade pedida, válida no limite de N grande (no qual a grade de \vec{k} fica muito densa).

Passo 6

Consistência com o volume da zona de Brillouin e contagem de estados.
Como verificação, a primeira zona de Brillouin (volume V_{\text{BZ}}) é o volume do cálice recíproco primitivo, que satisfaz a relação canônica
V_{\text{BZ}}=\frac{(2\pi)^3}{v}.
O número de pontos \vec{k} na BZ (usando a densidade V/(2\pi)^3) é então
\frac{V}{(2\pi)^3}V_{\text{BZ}}=\frac{V}{(2\pi)^3}\cdot\frac{(2\pi)^3}{v}=\frac{V}{v}=N,
ou seja, há exatamente N pontos \vec{k} na primeira zona de Brillouin — consistência com o fato físico de haver uma quantidade de estados igual ao número de células (por banda). Isso confirma que o fator \dfrac{N v}{(2\pi)^3} é o multiplicador correto.

Resposta

\sum_{\vec{k}} F(\vec{k})=\frac{N v}{(2 \pi)^{3}} \int_{\text{BZ}} F(\vec{k})\, d^{3} k

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