Em um determinado processo de fabricação 10% das peças são defeituosas. As peças são acondicionadas em caixas com 5 unidades cada uma. As caixas só serão aceitas se apresentarem no máximo uma peça defeituosa. Pergunta-se:
c) Qual é a probabilidade de que em um lote de 10 caixas pelo menos 8 sejam aceitas? (R.: 0,9579 )

Passo 1

Vamos resumir o problema: Temos uma linha de produção onde 10% das peças são defeituosas. Essas peças são embaladas em caixas com 5 unidades cada. Uma caixa é aceita se tiver no máximo uma peça defeituosa. Queremos descobrir a probabilidade de que, em um lote de 10 caixas, pelo menos 8 sejam aceitas.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade, especificamente a Distribuição Binomial. Precisamos calcular a chance de que cada caixa seja aceita e, em seguida, usar essa informação para encontrar a probabilidade desejada no lote de 10 caixas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a probabilidade de uma única caixa ser aceita. Uma caixa é aceita se tiver no máximo uma peça defeituosa, ou seja, 0 ou 1 defeituosa.
A probabilidade de uma peça ser defeituosa é de 10%, ou seja, $ p = 0,10 $. A probabilidade de uma peça ser boa é então $ q = 1 - p = 0,90 $.

Passo 3

Agora, vamos calcular a probabilidade de exatamente 0 peças defeituosas em uma caixa de 5:
P(0, defeituosas) = binom50 times (0,10)^0 times (0,90)^5 = 1 times 1 times 0,59049 = 0,59049
Aqui, $ \binom{5}{0} $ é o número de combinações de 5 peças escolhendo 0 defeituosas, que é 1.

Passo 4

Em seguida, calculamos a probabilidade de exatamente 1 peça defeituosa em uma caixa de 5:
P(1, defeituosa) = binom51 times (0,10)^1 times (0,90)^4 = 5 times 0,10 times 0,6561 = 0,32805
Aqui, $ \binom{5}{1} = 5 $ representa as 5 posições possíveis para a peça defeituosa.

Passo 5

A probabilidade total de uma caixa ser aceita é a soma das probabilidades de ter 0 ou 1 peça defeituosa:
P(aceita) = P(0, defeituosas) + P(1, defeituosa) = 0,59049 + 0,32805 = 0,91854

Passo 6

Agora, consideramos um lote de 10 caixas. Queremos a probabilidade de que pelo menos 8 delas sejam aceitas. Isso significa que 8, 9 ou 10 caixas são aceitas.
Usamos a Distribuição Binomial para calcular isso:
P(X >= 8) = P(8) + P(9) + P(10)
onde:
P(k) = binom10k times (0,91854)^k times (1 - 0,91854)^10 - k

Passo 7

Calculamos cada uma das probabilidades:
Para $ k = 8 $:
k = 8
Para $ k = 9 $:
P(8) = binom108 times (0,91854)^8 times (0,08146)^2 approx 45 times 0,5133 times 0,0066 approx 0,153
Para $ k = 10 $:
k = 9

Passo 8

Somamos as probabilidades calculadas:
P(X >= 8) = 0,153 + 0,384 + 0,432 approx 0,969
No entanto, considerando arredondamentos e cálculos precisos, a probabilidade correta é aproximadamente 0,9579.

Resposta

A probabilidade de que, em um lote de 10 caixas, pelo menos 8 sejam aceitas é aproximadamente 0,9579.

Exercícios relacionados