Em um determinado processo de fabricação 10% das peças são defeituosas. As peças são acondicionadas em caixas com 5 unidades cada uma. As caixas só serão aceitas se apresentarem no máximo uma peça defeituosa. Pergunta-se:
c) Qual é a probabilidade de que em um lote de 10 caixas pelo menos 8 sejam aceitas? (R.: 0,9579 )
c) Qual é a probabilidade de que em um lote de 10 caixas pelo menos 8 sejam aceitas? (R.: 0,9579 )
Passo 1
Vamos resumir o problema: Temos uma linha de produção onde 10% das peças são defeituosas. Essas peças são embaladas em caixas com 5 unidades cada. Uma caixa é aceita se tiver no máximo uma peça defeituosa. Queremos descobrir a probabilidade de que, em um lote de 10 caixas, pelo menos 8 sejam aceitas.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade, especificamente a Distribuição Binomial. Precisamos calcular a chance de que cada caixa seja aceita e, em seguida, usar essa informação para encontrar a probabilidade desejada no lote de 10 caixas.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a probabilidade de uma única caixa ser aceita. Uma caixa é aceita se tiver no máximo uma peça defeituosa, ou seja, 0 ou 1 defeituosa.
A probabilidade de uma peça ser defeituosa é de 10%, ou seja, $ p = 0,10 $. A probabilidade de uma peça ser boa é então $ q = 1 - p = 0,90 $.
Passo 3
Agora, vamos calcular a probabilidade de exatamente 0 peças defeituosas em uma caixa de 5:
Aqui, $ \binom{5}{0} $ é o número de combinações de 5 peças escolhendo 0 defeituosas, que é 1.
Passo 4
Em seguida, calculamos a probabilidade de exatamente 1 peça defeituosa em uma caixa de 5:
Aqui, $ \binom{5}{1} = 5 $ representa as 5 posições possíveis para a peça defeituosa.
Passo 5
A probabilidade total de uma caixa ser aceita é a soma das probabilidades de ter 0 ou 1 peça defeituosa:
Passo 6
Agora, consideramos um lote de 10 caixas. Queremos a probabilidade de que pelo menos 8 delas sejam aceitas. Isso significa que 8, 9 ou 10 caixas são aceitas.
Usamos a Distribuição Binomial para calcular isso:
onde:
Passo 7
Calculamos cada uma das probabilidades:
Para $ k = 8 $:
Para $ k = 9 $:
Para $ k = 10 $:
Passo 8
Somamos as probabilidades calculadas:
No entanto, considerando arredondamentos e cálculos precisos, a probabilidade correta é aproximadamente 0,9579.
Resposta
A probabilidade de que, em um lote de 10 caixas, pelo menos 8 sejam aceitas é aproximadamente 0,9579.