Obtenha a série de potências de
para:
Passo 1
Resumo do enunciado: queremos encontrar a série de potências de
f(x)=∫_{0}^{x} ln(1+t^{2}),dt
para |x|<1, usando expansão em série de Taylor e integração termo a termo.
f(x)=∫_{0}^{x} ln(1+t^{2}),dt
para |x|<1, usando expansão em série de Taylor e integração termo a termo.
Passo 2
Começamos pela série de Taylor de ln(1+u) para |u|<1, que é
où temos:
où temos:
Substituindo u=t^{2}, obtemos a expansão de ln(1+t^{2}):
Passo 3
Agora integramos termo a termo no intervalo de 0 a x. Como cada termo é t^{2n}, temos
Logo,
Passo 4
Observação: essa série converge para |x|<1 e representa exatamente f(x) nesse intervalo.