Obtenha a série de potências de x para:
f(x)=integral0^x ln (1+t^2) d t

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos encontrar a série de potências de
f(x)=∫_{0}^{x} ln(1+t^{2}),dt
para |x|<1, usando expansão em série de Taylor e integração termo a termo.

Passo 2

Começamos pela série de Taylor de ln(1+u) para |u|<1, que é
où temos:
ln(1+u)=sumn=1^infty(-1)^n+1u^nn
Substituindo u=t^{2}, obtemos a expansão de ln(1+t^{2}):
lnl(1+t^2r)=sumn=1^infty(-1)^n+1t^2nn

Passo 3

Agora integramos termo a termo no intervalo de 0 a x. Como cada termo é t^{2n}, temos
∫0^xt^2n,dt=x^2n+12n+1
Logo,
f(x)=∫0^xln(1+t^2),dt=sumn=1^infty(-1)^n+11ncdotx^2n+12n+1= sumn=1^infty(-1)^n+1x^2n+1n(2n+1)

Passo 4

Observação: essa série converge para |x|<1 e representa exatamente f(x) nesse intervalo.

Resposta

f(x)=sumn=1^infty(-1)^n+1x^2n+1n(2n+1), \quad |x|<1.

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