Mostre que se
uma transformação linear,
é um subespaço de
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dada uma transformação linear
o conjunto
é um subespaço de
. O conteúdo aqui é a caracterização de subespaços vetoriais: basta verificar que
contém o vetor zero, é fechado sob soma e é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Mostramos primeiro que
não é vazio. Como
é linear, vale
logo
.
Passo 3
Verificamos a estabilidade por soma. Sejam
. Então
Usando a linearidade de
, temos
o que mostra
.
Passo 4
Verificamos a estabilidade por multiplicação escalar. Seja
e
um escalar. Então
logo
.
Passo 5
Como
contém o vetor zero, é fechado sob soma e sob multiplicação por escalar, concluímos que
é de fato um subespaço de
.