Mostre que se T: V longrightarrow V uma transformação linear,
KerT é um subespaço de V.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dada uma transformação linear
Tcolon V to V,
o conjunto
ker(T)=vin V mid T(v)=0
é um subespaço de V. O conteúdo aqui é a caracterização de subespaços vetoriais: basta verificar que ker(T) contém o vetor zero, é fechado sob soma e é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Mostramos primeiro que ker(T) não é vazio. Como T é linear, vale
T(0)=T(0cdot v)=0cdot T(v)=0,
logo 0inker(T).

Passo 3

Verificamos a estabilidade por soma. Sejam u,winker(T). Então
T(u)=0 e T(w)=0
Usando a linearidade de T, temos
T(u+w)=T(u)+T(w)=0+0=0,
o que mostra u+winker(T).

Passo 4

Verificamos a estabilidade por multiplicação escalar. Seja uinker(T) e alpha um escalar. Então
T(alpha u)=alpha,T(u)=alphacdot 0=0,
logo alpha uinker(T).

Passo 5

Como ker(T) contém o vetor zero, é fechado sob soma e sob multiplicação por escalar, concluímos que ker(T) é de fato um subespaço de V.

Resposta

ker(T) é subespaço de V.

Exercícios relacionados