Verifique se as transformações dadas a seguir são lineares:
Passo 1
O enunciado pede para verificar se
definida por
é uma transformação linear. Lembre que
é linear se e só se satisfaz
-
para todo , e -
para todo escalar .
Uma propriedade equivalente e mais rápida de checar é que toda transformação linear deve enviar o vetor zero em zero, ou seja,.
Passo 2
Calcular
:
Como uma transformação linear exigiria
, vemos que
logo
já falha uma condição necessária de linearidade.
Passo 3
Para reforçar, vamos checar a aditividade. Tomando
, temos
enquanto
Os segundos componentes não coincidem, portanto
confirmando que a aditividade também falha.