Verifique se as transformações dadas a seguir são lineares:
T8: R longrightarrow R^2, T8(x)=(x, x+2)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se ;T8: Rto R^2 definida por
T8(x) = (x,;x+2)
é uma transformação linear. Lembre que T é linear se e só se satisfaz
  1. T(u+v)=T(u)+T(v) para todo u,v, e
  2. T(cu)=c,T(u) para todo escalar c.
    Uma propriedade equivalente e mais rápida de checar é que toda transformação linear deve enviar o vetor zero em zero, ou seja, T(0)=0.

Passo 2

Calcular T8(0):
T8(0) = (0,;0+2) = (0,2)
Como uma transformação linear exigiria T(0)=(0,0), vemos que
T8(0)neq(0,0),
logo T8 já falha uma condição necessária de linearidade.

Passo 3

Para reforçar, vamos checar a aditividade. Tomando x,yin R, temos
T8(x+y) = (,x+y,;x+y+2),
enquanto
T8(x)+T8(y) = (,x,;x+2)+(y,y+2) = (,x+y,;x+y+4)
Os segundos componentes não coincidem, portanto
T8(x+y)neq T8(x)+T8(y),
confirmando que a aditividade também falha.

Resposta

T8 não é linear.

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