Verifique se as transformações dadas a seguir são lineares:
T7: R^3 longrightarrow R^4, T7(x, y, z)=(2 x+y, 3 y-8 z, y+z, 4 x)

Passo 1

O enunciado apresenta a transformação
T7colon R^3longrightarrowR^4, T7(x,y,z) = (2x+y,;3y-8z,;y+z,;4x)
e pede para verificar se ela é linear. Para isso, vamos usar a definição de transformação linear, que exige duas propriedades para todo u,vinR^3 e todo escalar c:
  1. T(u+v)=T(u)+T(v) (aditividade)
  2. T(c,u)=c,T(u) (homogeneidade)

Passo 2

Verificamos primeiro o ponto zero. Uma consequência de ser linear é que
T7(0,0,0) = (2cdot 0+0,;3cdot0-8cdot0,;0+0,;4cdot0) = (0,0,0,0),
ou seja, T7(0)=0.

Passo 3

Vamos checar a aditividade. Sejam
u=(x1,y1,z1), v=(x2,y2,z2)
Então
u+v = (x1+x2,,y1+y2,,z1+z2)
e
T7(u+v) = l(2(x1+x2)+(y1+y2),;3(y1+y2)-8(z1+z2),;(y1+y2)+(z1+z2),;4(x1+x2)r)
Por outro lado,
T7(u)+T7(v) = (2x1+y1,,3y1-8z1,,y1+z1,,4x1) + (2x2+y2,,3y2-8z2,,y2+z2,,4x2),
que dá exatamente
(2x1+2x2+y1+y2,;3y1+3y2-8z1-8z2,;y1+y2+z1+z2,;4x1+4x2),
que coincide com T7(u+v). Logo, a aditividade vale.

Passo 4

Agora a homogeneidade. Dado um escalar c e um vetor u=(x,y,z), temos
c,u = (c,x,;c,y,;c,z)
e
T7(c,u) = l(2(c,x)+(c,y),;3(c,y)-8(c,z),;(c,y)+(c,z),;4(c,x)r) = c,(2x+y,;3y-8z,;y+z,;4x) = c,T7(u)
Isso mostra a homogeneidade.

Resposta

A transformação T7 satisfaz aditividade e homogeneidade, logo é linear.

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