Verifique se as transformações dadas a seguir são lineares:
Passo 1
O enunciado apresenta a transformação
e pede para verificar se ela é linear. Para isso, vamos usar a definição de transformação linear, que exige duas propriedades para todo
e todo escalar
:
-
(aditividade) -
(homogeneidade)
Passo 2
Verificamos primeiro o ponto zero. Uma consequência de ser linear é que
ou seja,
.
Passo 3
Vamos checar a aditividade. Sejam
Então
e
Por outro lado,
que dá exatamente
que coincide com
. Logo, a aditividade vale.
Passo 4
Agora a homogeneidade. Dado um escalar
e um vetor
, temos
e
Isso mostra a homogeneidade.
Resposta
A transformação
satisfaz aditividade e homogeneidade, logo é linear.