Mostre que tan (theta)-sin (theta)sin ^3(theta)=1cos (theta)+cos ^2(theta)

Passo 1

Na questão temos que mostrar a identidade trigonométrica
tan(theta)-sin(theta)sin^3(theta) = 1cos(theta)+cos^2(theta)
O conteúdo envolve manipulações algébricas e identidades trigonométricas, em especial
tan(theta)=sin(theta)cos(theta) e
sin^2(theta)+cos^2(theta)=1.

Passo 2

Vamos reescrever tan(theta)-sin(theta) em termos de seno e cosseno e fatorar:
tan(theta)-sin(theta)=sin(theta)l(1cos(theta)-1r) =sin(theta)1-cos(theta)cos(theta)

Passo 3

Agora dividimos essa expressão por sin^3(theta) e simplificamos um fator sin(theta) do numerador com o denominador:
tan(theta)-sin(theta)sin^3(theta) =sin(theta)1-cos(theta)cos(theta)sin^3(theta) =1-cos(theta)cos(theta),sin^2(theta)

Passo 4

Usamos a identidade pitagórica sin^2(theta)=1-cos^2(theta) para reescrever o denominador e fatorar:
1-cos(theta)cos(theta),sin^2(theta) =1-cos(theta)cos(theta)(1-cos^2(theta)) =1-cos(theta)cos(theta)(1-cos(theta))(1+cos(theta))

Passo 5

Cancelamos o fator comum (1-cos(theta)) no numerador e denominador. Como
cos(theta)(1+cos(theta))=cos(theta)+cos^2(theta), chegamos à forma desejada:
1cos(theta)(1+cos(theta))=1cos(theta)+cos^2(theta)

Resposta

tan(theta)-sin(theta)sin^3(theta)=1cos(theta)+cos^2(theta)

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