(2 pts) Representar parametricamente a curva dada pela interseção das superfícies x+y=2 e x^2+y^2+z^2=2(x+y)

Passo 1

Resumo do problema: a gente quer achar uma representação paramétrica da curva que é a interseção do plano x+y=2 com a esfera x^2+y^2+z^2=2(x+y). O conteúdo principal é entender como cortar uma esfera por um plano e parametrizar a circunferência resultante.

Passo 2

Usar o plano para eliminar uma variável: do plano x+y=2 temos y=2-x. Substituindo na equação da esfera:
x^2+(2-x)^2+z^2=2,(x+(2-x))=4

Passo 3

Expandindo e simplificando:
x^2+(4-4x+x^2)+z^2=4
2x^2-4x+4+z^2-4=0
2x^2-4x+z^2=0

Passo 4

Completar o quadrado em x:
2(x^2-2x)+z^2=0
2l((x-1)^2-1r)+z^2=0
2(x-1)^2-2+z^2=0
2(x-1)^2+z^2=2

Passo 5

Dividindo por 2:
(x-1)^2+z^22=1

Passo 6

Isso é uma circunferência de raio 1 no plano transformado, mas na projeção xz aparece como elipse. Para parametrizar, tratamos como
(x-1)=cos t, zraiz2=sin t

Passo 7

Expressando todas as coordenadas:
x=1+cos t,
z=raiz2,sin t,
e de y=2-x vem
y=1-cos t

Resposta

A parametrização da curva é
r(t)=l(1+cos t,;1-cos t,;raiz2sin tr), tin[0,2pi]

Exercícios relacionados