Mostre que:
tan (x)=sin (2 x)1+cos (2 x)

Passo 1

A questão pede para mostrar que tan(x)=sin(2x)1+cos(2x). O conteúdo envolvido são identidades trigonométricas de ângulo duplo. Vamos usar as fórmulas sin(2x)=2sin(x)cos(x) e cos(2x)=cos^2(x)-sin^2(x).

Passo 2

Começando pela fração do lado direito, substituímos as fórmulas de ângulo duplo:
sin(2x)1+cos(2x)=2sin(x)cos(x)1+l(cos^2(x)-sin^2(x)r)
Agora, observe que
1+l(cos^2(x)-sin^2(x)r)=cos^2(x)+sin^2(x)+cos^2(x)-sin^2(x)=2cos^2(x)
Substituindo de volta, a expressão vira
2sin(x)cos(x)2cos^2(x)

Passo 3

Cancelando o fator 2 e um cos(x) no numerador e denominador, ficamos com sin(x)cos(x), que é exatamente tan(x). Portanto, a identidade está demonstrada.

Resposta

tan(x)=sin(2x)1+cos(2x)

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