Mostre que:
sin (theta+pi)=sin (theta)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que sin(theta+pi)=sin(theta), que é uma identidade trigonométrica envolvendo soma de ângulos.

Passo 2

Vamos usar a fórmula de adição de seno: para quaisquer ângulos a e b, vale sin(a+b)=sin acos b+cos asin b. Aplicando com a=theta e b=pi:
sin(theta+pi)=sinthetacospi+costhetasinpi

Passo 3

Como cospi=-1 e sinpi=0, substituímos para obter:
sin(theta+pi)=sinthetacdot(-1)+costhetacdot0=-sintheta

Passo 4

Portanto a identidade correta é sin(theta+pi)=-sin(theta), e não sin(theta+pi)=sin(theta). A igualdade do enunciado só ocorreria nos casos em que sintheta=0, isto é, theta=kpi com kin Z.

Resposta

A afirmação geral sin(theta+pi)=sin(theta) é falsa. A identidade correta é sin(theta+pi)=-sin(theta), e a igualdade só vale se sintheta=0 (isto é, theta=kpi).

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