Mostre que, na teoria de Bohr, a frequência do fóton emitido quando o elétron realiza uma transição de uma órbita
para
em um átomo de hidrogênio é dada por:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, na teoria de Bohr, a frequência do fóton emitido quando o elétron faz a transição de uma órbita
para
no átomo de hidrogênio vale
Informações relevantes que já temos (implícitas no enunciado):
- Trata-se do átomo de hidrogênio: núcleo com carga
e um elétron com carga . -
é a massa do elétron, é a carga elementar, é a permissividade do vácuo e é a constante de Planck. - A transição é de um nível com número quântico
para o nível (ou seja, energia do estado inicial corresponde a , estado final a ).
O que precisa ser mostrado é a expressão para a frequênciado fóton emitido em função de (e das constantes físicas acima).
Passo 2
Relembre (postulado de Bohr usado aqui) — quantização do momento angular: o momento angular do elétron na órbita circular está quantizado segundo
onde
é a massa do elétron,
sua velocidade na órbita,
o raio da órbita correspondente ao número quântico
,
e
.
Explicação didática: esse postulado diz que só são permitidas órbitas para as quais o momento angular do elétron é um múltiplo inteiro de
. Aqui cada símbolo significa:
-
: massa do elétron (constante), -
: velocidade do elétron na órbita considerada, -
: raio da órbita para aquele , -
: número quântico inteiro, -
: constante de Planck reduzida.
Passo 3
Equilíbrio das forças (movimento circular): a força centrípeta requerida para manter o elétron em órbita é fornecida pela força elétrica coulombiana entre núcleo e elétron. Assim:
Explicação didática: o lado esquerdo é a expressão da força centrípeta (massa vezes velocidade ao quadrado sobre o raio). O lado direito é a magnitude da força de Coulomb entre cargas
e
separadas por distância
.
Passo 4
A partir de
podemos escrever
. Substituindo esse
na equação do equilíbrio de forças, obtemos:
Simplificando os fatores:
Isolando
:
Comentário didático: essa é a famosa expressão do raio da órbita
(o raio de Bohr quando
é
). Note que
cresce como
.
Passo 5
Calcule a energia total do elétron em uma órbita
. Primeiro a energia cinética
e a energia potencial
:
Da equação do equilíbrio de forças obteve-se
. Então
A energia potencial eletrostática (potencial de Coulomb) é
A energia total
é
. Substituindo:
Explicação didática: a energia potencial é negativa (atração entre cargas opostas). Pela relação entre
e
para órbitas circulares ligadas pelo potencial coulombiano tem-se
, logo
com sinal negativo, resultando na expressão acima.
Passo 6
Agora substituímos o raio
da órbita
encontrado no Passo 4 na expressão da energia total. Com
temos
Multiplicando e reorganizando:
Usando
implica
. Substituindo isso no denominador:
Portanto:
Comentário didático: essa é a expressão bem conhecida para os níveis de energia do átomo de hidrogênio na teoria de Bohr. Observe que
é negativo e decresce em valor absoluto com
.
Passo 7
Energia do fóton emitido na transição
.
O elétron parte do estado com energia
e vai para
. A energia do fóton emitido é a diferença entre energia inicial e final:
Substituindo a forma de
:
Note a ordem: como
e
são negativos,
(nível mais alto, maior
) é menos negativo que
; portanto
é positivo, correspondente à energia emitida.
Passo 8
Relacionando energia do fóton com frequência: pelo quantum de energia de Planck,
Igualando com a expressão do Passo 7:
Podemos trocar os sinais dentro do parêntese para deixar a diferença na ordem final menos inicial (isso torna a expressão positiva mais direta). Observando que
temos
Passo 9
Isolando
dividindo ambos os lados por
:
Comentário final didático: a expressão é exatamente a pedida. Ela mostra que a frequência do fóton depende apenas da diferença entre
e
multiplicada por uma constante formada por
. A forma geral para transição
seria
.