Mostre que, na teoria de Bohr, a frequência do fóton emitido quando o elétron realiza uma transição de uma órbita n para n-2 em um átomo de hidrogênio é dada por:
\nu=\frac{m e^{4}}{8 \varepsilon_{0}^{2} h^{3}}\left(\frac{1}{(n-2)^{2}}-\frac{1}{n^{2}}\right)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, na teoria de Bohr, a frequência do fóton emitido quando o elétron faz a transição de uma órbita n para n-2 no átomo de hidrogênio vale
\nu=\frac{m e^{4}}{8 \varepsilon_{0}^{2} h^{3}}\left(\frac{1}{(n-2)^{2}}-\frac{1}{n^{2}}\right).
Informações relevantes que já temos (implícitas no enunciado):
  • Trata-se do átomo de hidrogênio: núcleo com carga +e e um elétron com carga -e.
  • m é a massa do elétron, e é a carga elementar, \varepsilon_{0} é a permissividade do vácuo e h é a constante de Planck.
  • A transição é de um nível com número quântico n para o nível n-2 (ou seja, energia do estado inicial corresponde a n, estado final a n-2).
    O que precisa ser mostrado é a expressão para a frequência \nu do fóton emitido em função de n (e das constantes físicas acima).

Passo 2

Relembre (postulado de Bohr usado aqui) — quantização do momento angular: o momento angular do elétron na órbita circular está quantizado segundo
m v r = n \hbar,
onde m é a massa do elétron, v sua velocidade na órbita, r o raio da órbita correspondente ao número quântico n, \hbar=\dfrac{h}{2\pi} e n=1,2,3,\dots.
Explicação didática: esse postulado diz que só são permitidas órbitas para as quais o momento angular do elétron é um múltiplo inteiro de \hbar. Aqui cada símbolo significa:
  • m: massa do elétron (constante),
  • v: velocidade do elétron na órbita considerada,
  • r: raio da órbita para aquele n,
  • n: número quântico inteiro,
  • \hbar: constante de Planck reduzida.

Passo 3

Equilíbrio das forças (movimento circular): a força centrípeta requerida para manter o elétron em órbita é fornecida pela força elétrica coulombiana entre núcleo e elétron. Assim:
\frac{m v^{2}}{r} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{e^{2}}{r^{2}}.
Explicação didática: o lado esquerdo é a expressão da força centrípeta (massa vezes velocidade ao quadrado sobre o raio). O lado direito é a magnitude da força de Coulomb entre cargas +e e -e separadas por distância r.

Passo 4

A partir de m v r = n\hbar podemos escrever v=\dfrac{n\hbar}{m r}. Substituindo esse v na equação do equilíbrio de forças, obtemos:
\frac{m}{r}\left(\frac{n\hbar}{m r}\right)^{2} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{e^{2}}{r^{2}}.
Simplificando os fatores:
\frac{n^{2}\hbar^{2}}{m r^{3}} = \frac{e^{2}}{4\pi\varepsilon_{0} r^{2}}.
Isolando r:
r = \frac{4\pi\varepsilon_{0}\hbar^{2}}{m e^{2}}\, n^{2}.
Comentário didático: essa é a famosa expressão do raio da órbita n (o raio de Bohr quando n=1 é a_{0}=\dfrac{4\pi\varepsilon_{0}\hbar^{2}}{m e^{2}}). Note que r cresce como n^{2}.

Passo 5

Calcule a energia total do elétron em uma órbita n. Primeiro a energia cinética K e a energia potencial U:
Da equação do equilíbrio de forças obteve-se m v^{2} = \dfrac{e^{2}}{4\pi\varepsilon_{0} r}. Então
K=\tfrac{1}{2}m v^{2}=\frac{e^{2}}{8\pi\varepsilon_{0} r}.
A energia potencial eletrostática (potencial de Coulomb) é
U = -\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{e^{2}}{r} = -\frac{e^{2}}{4\pi\varepsilon_{0} r}.
A energia total E é E=K+U. Substituindo:
E = \frac{e^{2}}{8\pi\varepsilon_{0} r} - \frac{e^{2}}{4\pi\varepsilon_{0} r} = -\frac{e^{2}}{8\pi\varepsilon_{0} r}.
Explicação didática: a energia potencial é negativa (atração entre cargas opostas). Pela relação entre K e U para órbitas circulares ligadas pelo potencial coulombiano tem-se K = -\tfrac{1}{2}U, logo E = K+U = \tfrac{1}{2}U com sinal negativo, resultando na expressão acima.

Passo 6

Agora substituímos o raio r da órbita n encontrado no Passo 4 na expressão da energia total. Com
r_{n} = \frac{4\pi\varepsilon_{0}\hbar^{2}}{m e^{2}}\, n^{2},
temos
E_{n} = -\frac{e^{2}}{8\pi\varepsilon_{0}}\cdot\frac{1}{r_{n}} = -\frac{e^{2}}{8\pi\varepsilon_{0}}\cdot\frac{m e^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}\hbar^{2}}\cdot\frac{1}{n^{2}}.
Multiplicando e reorganizando:
E_{n} = -\frac{m e^{4}}{32\pi^{2}\varepsilon_{0}^{2}\hbar^{2}}\cdot\frac{1}{n^{2}}.
Usando \hbar=\dfrac{h}{2\pi} implica \hbar^{2}=\dfrac{h^{2}}{4\pi^{2}}. Substituindo isso no denominador:
32\pi^{2}\varepsilon_{0}^{2}\hbar^{2} = 32\pi^{2}\varepsilon_{0}^{2}\cdot\frac{h^{2}}{4\pi^{2}} = 8\varepsilon_{0}^{2}h^{2}.
Portanto:
E_{n} = -\frac{m e^{4}}{8\varepsilon_{0}^{2}h^{2}}\cdot\frac{1}{n^{2}}.
Comentário didático: essa é a expressão bem conhecida para os níveis de energia do átomo de hidrogênio na teoria de Bohr. Observe que E_{n} é negativo e decresce em valor absoluto com n^{2}.

Passo 7

Energia do fóton emitido na transição n \to n-2.
O elétron parte do estado com energia E_{n} e vai para E_{n-2}. A energia do fóton emitido é a diferença entre energia inicial e final:
E_{\text{fóton}} = E_{n} - E_{n-2}.ó
Substituindo a forma de E_{n}:
E_{\text{fóton}} = -\frac{m e^{4}}{8\varepsilon_{0}^{2}h^{2}}\left(\frac{1}{n^{2}}-\frac{1}{(n-2)^{2}}\right).ó
Note a ordem: como E_{n} e E_{n-2} são negativos, E_{n} (nível mais alto, maior n) é menos negativo que E_{n-2}; portanto E_{n}-E_{n-2} é positivo, correspondente à energia emitida.

Passo 8

Relacionando energia do fóton com frequência: pelo quantum de energia de Planck,
E_{\text{fóton}} = h \nu.ó
Igualando com a expressão do Passo 7:
h \nu = -\frac{m e^{4}}{8\varepsilon_{0}^{2}h^{2}}\left(\frac{1}{n^{2}}-\frac{1}{(n-2)^{2}}\right).
Podemos trocar os sinais dentro do parêntese para deixar a diferença na ordem final menos inicial (isso torna a expressão positiva mais direta). Observando que
-\left(\frac{1}{n^{2}}-\frac{1}{(n-2)^{2}}\right) = \frac{1}{(n-2)^{2}}-\frac{1}{n^{2}},
temos
h \nu = \frac{m e^{4}}{8\varepsilon_{0}^{2}h^{2}}\left(\frac{1}{(n-2)^{2}}-\frac{1}{n^{2}}\right).

Passo 9

Isolando \nu dividindo ambos os lados por h:
\nu = \frac{m e^{4}}{8\varepsilon_{0}^{2}h^{3}}\left(\frac{1}{(n-2)^{2}}-\frac{1}{n^{2}}\right).
Comentário final didático: a expressão é exatamente a pedida. Ela mostra que a frequência do fóton depende apenas da diferença entre 1/(n-2)^{2} e 1/n^{2} multiplicada por uma constante formada por m,e,\varepsilon_{0},h. A forma geral para transição n_i\to n_f seria \nu = \dfrac{m e^{4}}{8\varepsilon_{0}^{2}h^{3}}\!\left(\dfrac{1}{n_{f}^{2}}-\dfrac{1}{n_{i}^{2}}\right).

Resposta

\nu=\frac{m e^{4}}{8 \varepsilon_{0}^{2} h^{3}}\left(\frac{1}{(n-2)^{2}}-\frac{1}{n^{2}}\right)

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