Mostre que
, para
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que
quando
. Isso está relacionado com funções trigonométricas e desigualdades. Para resolver isso, vamos precisar usar um pouquinho de cálculo, especialmente derivadas, para comparar como essas funções crescem nesse intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que estamos comparando. A função
é a tangente de x, e estamos comparando com a função
. Queremos mostrar que, para qualquer x entre 0 e
, a tangente de x é maior do que x.
Passo 3
Vamos definir uma nova função que representa a diferença entre
e x:
Nosso objetivo é mostrar que
para
.
Passo 4
Para analisar o comportamento de
, vamos calcular sua derivada. A derivada nos ajuda a entender se a função está crescendo ou diminuindo:
Sabemos que
, então:
Passo 5
Observamos que
é sempre positivo para
porque o quadrado de qualquer número real diferente de zero é positivo. Portanto,
nesse intervalo, o que significa que
está sempre aumentando.
Passo 6
Agora, vamos verificar o valor de
no início do intervalo, ou seja, quando
se aproxima de 0:
Como
e
está aumentando para
, isso implica que para qualquer
,
.
Resposta
Assim, mostramos que
para todo
.