Mostre que tg x>x, para 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que tg x > x quando 0 < x < pi/2. Isso está relacionado com funções trigonométricas e desigualdades. Para resolver isso, vamos precisar usar um pouquinho de cálculo, especialmente derivadas, para comparar como essas funções crescem nesse intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que estamos comparando. A função tg x é a tangente de x, e estamos comparando com a função f(x) = x. Queremos mostrar que, para qualquer x entre 0 e pi/2, a tangente de x é maior do que x.

Passo 3

Vamos definir uma nova função que representa a diferença entre tg x e x:
g(x) = tg x - x
Nosso objetivo é mostrar que g(x) > 0 para 0 < x < pi/2.

Passo 4

Para analisar o comportamento de g(x), vamos calcular sua derivada. A derivada nos ajuda a entender se a função está crescendo ou diminuindo:
g'(x) = ddx (tg x) - ddx (x) = sec^2 x - 1
Sabemos que sec^2 x = 1 + tg^2 x, então:
g'(x) = (1 + tg^2 x) - 1 = tg^2 x

Passo 5

Observamos que tg^2 x é sempre positivo para 0 < x < pi/2 porque o quadrado de qualquer número real diferente de zero é positivo. Portanto, g'(x) > 0 nesse intervalo, o que significa que g(x) está sempre aumentando.

Passo 6

Agora, vamos verificar o valor de g(x) no início do intervalo, ou seja, quando x se aproxima de 0:
limx to 0^+ g(x) = limx to 0^+ (tg x - x) = 0
Como g(0) = 0 e g(x) está aumentando para x > 0, isso implica que para qualquer x > 0, g(x) > 0.

Resposta

Assim, mostramos que tg x > x para todo 0 < x < pi/2.

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