- Prove que existe um único número real
talque
.
Passo 1
Resumindo o enunciado: queremos mostrar que a equação
tem exatamente uma solução real. O conteúdo que usaremos é o Teorema do Valor Intermediário para garantir existência de raiz e o estudo de monotonicidade (via derivada) para garantir unicidade.
Passo 2
Defina a função
Como
e
são contínuas em
, segue que
também é contínua em
.
Passo 3
Para aplicar o Teorema do Valor Intermediário, avalie
em dois pontos:
Como
é contínua em
e muda de sinal, existe pelo menos um
tal que
Passo 4
Agora, para mostrar que essa raiz é única, calcule a derivada:
Como
para todo
, segue que
ou seja,
é estritamente crescente. Logo, não pode ter duas raízes distintas.
Resposta
Existe exatamente um número real
tal que
.