1. Prove que existe um único número real x talque e^{x}+x=0.

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos mostrar que a equação
e^{x} + x = 0
tem exatamente uma solução real. O conteúdo que usaremos é o Teorema do Valor Intermediário para garantir existência de raiz e o estudo de monotonicidade (via derivada) para garantir unicidade.

Passo 2

Defina a função
f(x) = e^{x} + x.
Como e^{x} e x são contínuas em \mathbb{R}, segue que f também é contínua em \mathbb{R}.

Passo 3

Para aplicar o Teorema do Valor Intermediário, avalie f em dois pontos:
f(-1) = e^{-1} - 1 \approx 0{,}3679 - 1 = -0{,}6321 < 0,
f(0) = e^{0} + 0 = 1 > 0.
Como f é contínua em [-1,0] e muda de sinal, existe pelo menos um \xi\in(-1,0) tal que
f(\xi) = 0.

Passo 4

Agora, para mostrar que essa raiz é única, calcule a derivada:
f'(x) = e^{x} + 1.
Como e^{x} > 0 para todo x, segue que
f'(x) = e^{x} + 1 > 0\quad\forall x\in\mathbb{R},
ou seja, f é estritamente crescente. Logo, não pode ter duas raízes distintas.

Resposta

Existe exatamente um número real x tal que e^{x}+x=0.

Exercícios relacionados