Questão 3. A forma original da Lei de Ampère, estabelecida antes das contribuições de Maxwell, indicava que o rotacional do campo magnético era gerado exclusivamente pela densidade de corrente de condução
:
No entanto, essa formulação matemática entra em conflito com o princípio da conservação da carga elétrica quando analisamos regimes dinâmicos (campos variáveis no tempo).
(a) Sabendo que o divergente do rotacional de qualquer campo vetorial é sempre nulo
), utilize a equação da continuidade (
) para demonstrar matematicamente a inconsistência da Lei de Ampère original em situações onde a carga varia no tempo.
(b) Apresente a correção proposta por Maxwell (a densidade de corrente de deslocamento) e utilize a Lei de Gauss na forma diferencial para provar que a equação corrigida (
satisfaz plenamente a equação da continuidade.
(a) Sabendo que o divergente do rotacional de qualquer campo vetorial é sempre nulo
(b) Apresente a correção proposta por Maxwell (a densidade de corrente de deslocamento) e utilize a Lei de Gauss na forma diferencial para provar que a equação corrigida (
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- (a) Mostrar que a forma original da Lei de Ampère
é incompatível com a conservação local da carga elétrica quando a densidade de carga
varia no tempo. O enunciado também nos dá a identidade vetorial
(e exige que a usemos), e a equação da continuidade
- (b) Mostrar que, ao acrescentar a correção proposta por Maxwell (a chamada densidade de corrente de deslocamento) à equação de Ampère, obtém-se uma equação consistente com a equação da continuidade. A forma corrigida que devemos usar é
e também nos é dada (ou sabemos usar) a Lei de Gauss na forma diferencial
Passo 2
Vou explicar primeiro as ferramentas matemáticas que vamos usar (de forma bem didática):
- O operador divergente
mede a “taxa de saída” de um campo vetorial por unidade de volume; para uma densidade de corrente , indica se carga está se acumulando ( ) ou saindo ( ) de um ponto. - O operador rotacional
dá a “tendência de rotação” do campo; uma identidade vetorial importante é que o divergente do rotacional de qualquer campo é sempre zero:
para qualquer campo suficientemente suave
. Isso decorre das propriedades das derivadas parciais (as derivadas mistas se cancelam).
- A equação da continuidade
é a expressão local (ponto a ponto) da conservação de carga: a variação temporal da densidade de carga
em um ponto é compensada pela divergência da corrente nesse ponto.
Passo 3
Agora aplico a identidade vetorial à Lei de Ampère na sua forma original para demonstrar a inconsistência. Parto de
Faço o divergente em ambos os lados da igualdade. Do lado esquerdo uso a identidade
. Assim:
Como
é constante, isso dá
Dividindo por
(não nulo),
Agora uso a equação da continuidade
. Substituindo
obtém-se
Interpretação: a forma original da Lei de Ampère implica que
em todos os pontos — ou seja, que a densidade de carga não pode variar no tempo. Isso contraria situações dinâmicas reais (por exemplo, carregar um capacitor faz
variar no tempo). Portanto a forma original é inconsistente com a conservação de carga em regimes onde
varia.
Passo 4
Agora apresento a correção de Maxwell e demonstro que ela resolve o problema. Maxwell adicionou ao lado direito um termo proporcional à derivada temporal do campo elétrico
. A equação de Ampère-Maxwell fica:
O termo
é chamado de densidade de corrente de deslocamento. Intuitivamente, ele representa efeitos ligados à variação do campo elétrico no tempo que geram campos magnéticos, mesmo onde não há movimento de cargas de condução (por exemplo, entre as placas de um capacitor em carga).
Passo 5
Faço a mesma operação de divergente na equação corrigida para verificar a continuidade. Aplicando
em ambos os lados:
O lado esquerdo vale zero pela identidade do divergente do rotacional, logo
Agora uso duas propriedades/identidades simples e justificáveis para campos suaves:
- Linearidade e constantes podem sair do operador, já usadas acima.
- A divergência e a derivada temporal comutam (derivadas parciais mistas comutam para campos suficientemente regulares), portanto
Substituo isso:
Agora uso a Lei de Gauss na forma diferencial
. Então
Substituindo isso na expressão acima:
Simplificando
e
(dividindo por
),
E essa é exatamente a equação da continuidade. Conclusão: a equação de Ampère com o termo de corrente de deslocamento satisfaz automaticamente a conservação local da carga.
Passo 6
Resumo físico e intuição curta (para lembrar na prova):
- Sem o termo de Maxwell, a equação de Ampère forçaria
: cargas não poderiam variar no tempo — isso é inaceitável para processos dinâmicos. - O termo
representa uma corrente efetiva associada à variação do campo elétrico (corrente de deslocamento). Ele garante que a expressão para tenha divergência compatível com a equação da continuidade, fechando matematicamente a conservação de carga. - Exemplos práticos: entre as placas de um capacitor em carga não existe corrente de condução, mas o campo elétrico entre as placas varia; a corrente de deslocamento fornece o termo necessário para que a corrente “pareça contínua” através de um circuito fechado (sem quebra da conservação).
Resposta
(a) A aplicação do divergente à Lei de Ampère original dá
e usando a equação da continuidade resulta em
ou seja, a forma original exige que a densidade de carga não varie no tempo, o que é inconsistente com regimes dinâmicos.
(b) Com a correção de Maxwell
fazendo o divergente, usando
,
e
, obtém-se
isto é,
logo a equação corrigida satisfaz plenamente a equação da continuidade.