Questão 3. A forma original da Lei de Ampère, estabelecida antes das contribuições de Maxwell, indicava que o rotacional do campo magnético era gerado exclusivamente pela densidade de corrente de condução \overrightarrow{\mathbf{J}} :
\nabla \times \overrightarrow{\mathbf{B}}=\mu_{0} \overrightarrow{\mathbf{J}}
No entanto, essa formulação matemática entra em conflito com o princípio da conservação da carga elétrica quando analisamos regimes dinâmicos (campos variáveis no tempo).
(a) Sabendo que o divergente do rotacional de qualquer campo vetorial é sempre nulo (\boldsymbol{\nabla} \cdot(\boldsymbol{\nabla} \times \overrightarrow{\mathbf{A}})=0 ), utilize a equação da continuidade ( \boldsymbol{\nabla} \cdot \overrightarrow{\mathbf{J}}+\frac{\partial \rho}{\partial t}=0 ) para demonstrar matematicamente a inconsistência da Lei de Ampère original em situações onde a carga varia no tempo.
(b) Apresente a correção proposta por Maxwell (a densidade de corrente de deslocamento) e utilize a Lei de Gauss na forma diferencial para provar que a equação corrigida ( \boldsymbol{\nabla} \times \overrightarrow{\mathbf{B}}=\mu_{0} \overrightarrow{\mathbf{J}}+ \left.\mu_{0} \varepsilon_{0} \frac{\partial \stackrel{\mathbf{E}}{\partial t}}{\partial t}\right) satisfaz plenamente a equação da continuidade.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • (a) Mostrar que a forma original da Lei de Ampère
\nabla \times \mathbf{B} = \mu_{0}\,\mathbf{J}
é incompatível com a conservação local da carga elétrica quando a densidade de carga \rho varia no tempo. O enunciado também nos dá a identidade vetorial
\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{A})=0
(e exige que a usemos), e a equação da continuidade
\nabla\cdot\mathbf{J}+\frac{\partial \rho}{\partial t}=0.
  • (b) Mostrar que, ao acrescentar a correção proposta por Maxwell (a chamada densidade de corrente de deslocamento) à equação de Ampère, obtém-se uma equação consistente com a equação da continuidade. A forma corrigida que devemos usar é
\nabla \times \mathbf{B}=\mu_{0}\,\mathbf{J}+\mu_{0}\varepsilon_{0}\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t},
e também nos é dada (ou sabemos usar) a Lei de Gauss na forma diferencial
\nabla\cdot\mathbf{E}=\frac{\rho}{\varepsilon_{0}}.

Passo 2

Vou explicar primeiro as ferramentas matemáticas que vamos usar (de forma bem didática):
  • O operador divergente \nabla\cdot mede a “taxa de saída” de um campo vetorial por unidade de volume; para uma densidade de corrente \mathbf{J}, \nabla\cdot\mathbf{J} indica se carga está se acumulando ( \nabla\cdot\mathbf{J}<0) ou saindo ( \nabla\cdot\mathbf{J}>0) de um ponto.
  • O operador rotacional \nabla\times dá a “tendência de rotação” do campo; uma identidade vetorial importante é que o divergente do rotacional de qualquer campo é sempre zero:
\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{A})=0,
para qualquer campo suficientemente suave \mathbf{A}. Isso decorre das propriedades das derivadas parciais (as derivadas mistas se cancelam).
  • A equação da continuidade
\nabla\cdot\mathbf{J}+\frac{\partial \rho}{\partial t}=0
é a expressão local (ponto a ponto) da conservação de carga: a variação temporal da densidade de carga \rho em um ponto é compensada pela divergência da corrente nesse ponto.

Passo 3

Agora aplico a identidade vetorial à Lei de Ampère na sua forma original para demonstrar a inconsistência. Parto de
\nabla \times \mathbf{B} = \mu_{0}\,\mathbf{J}.
Faço o divergente em ambos os lados da igualdade. Do lado esquerdo uso a identidade \nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{B})=0. Assim:
\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{B}) = \nabla\cdot\big(\mu_{0}\,\mathbf{J}\big).
Como \mu_{0} é constante, isso dá
0 = \mu_{0}\,\nabla\cdot\mathbf{J}.
Dividindo por \mu_{0} (não nulo),
\nabla\cdot\mathbf{J}=0.
Agora uso a equação da continuidade \nabla\cdot\mathbf{J}+\dfrac{\partial \rho}{\partial t}=0. Substituindo \nabla\cdot\mathbf{J}=0 obtém-se
0+\frac{\partial \rho}{\partial t}=0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{\partial \rho}{\partial t}=0.
Interpretação: a forma original da Lei de Ampère implica que \dfrac{\partial \rho}{\partial t}=0 em todos os pontos — ou seja, que a densidade de carga não pode variar no tempo. Isso contraria situações dinâmicas reais (por exemplo, carregar um capacitor faz \rho variar no tempo). Portanto a forma original é inconsistente com a conservação de carga em regimes onde \rho varia.

Passo 4

Agora apresento a correção de Maxwell e demonstro que ela resolve o problema. Maxwell adicionou ao lado direito um termo proporcional à derivada temporal do campo elétrico \mathbf{E}. A equação de Ampère-Maxwell fica:
\nabla \times \mathbf{B}=\mu_{0}\,\mathbf{J}+\mu_{0}\varepsilon_{0}\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}.
O termo \mu_{0}\varepsilon_{0}\dfrac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} é chamado de densidade de corrente de deslocamento. Intuitivamente, ele representa efeitos ligados à variação do campo elétrico no tempo que geram campos magnéticos, mesmo onde não há movimento de cargas de condução (por exemplo, entre as placas de um capacitor em carga).

Passo 5

Faço a mesma operação de divergente na equação corrigida para verificar a continuidade. Aplicando \nabla\cdot em ambos os lados:
\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{B}) = \nabla\cdot\big(\mu_{0}\,\mathbf{J}+\mu_{0}\varepsilon_{0}\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}\big).
O lado esquerdo vale zero pela identidade do divergente do rotacional, logo
0 = \mu_{0}\,\nabla\cdot\mathbf{J} + \mu_{0}\varepsilon_{0}\,\nabla\cdot\!\left(\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}\right).
Agora uso duas propriedades/identidades simples e justificáveis para campos suaves:
  1. Linearidade e constantes podem sair do operador, já usadas acima.
  2. A divergência e a derivada temporal comutam (derivadas parciais mistas comutam para campos suficientemente regulares), portanto
\nabla\cdot\!\left(\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}\right)=\frac{\partial}{\partial t}\big(\nabla\cdot\mathbf{E}\big).
Substituo isso:
0 = \mu_{0}\,\nabla\cdot\mathbf{J} + \mu_{0}\varepsilon_{0}\,\frac{\partial}{\partial t}\big(\nabla\cdot\mathbf{E}\big).
Agora uso a Lei de Gauss na forma diferencial \nabla\cdot\mathbf{E}=\dfrac{\rho}{\varepsilon_{0}}. Então
\frac{\partial}{\partial t}\big(\nabla\cdot\mathbf{E}\big)=\frac{\partial}{\partial t}\!\left(\frac{\rho}{\varepsilon_{0}}\right)=\frac{1}{\varepsilon_{0}}\frac{\partial \rho}{\partial t}.
Substituindo isso na expressão acima:
0 = \mu_{0}\,\nabla\cdot\mathbf{J} + \mu_{0}\varepsilon_{0}\cdot\frac{1}{\varepsilon_{0}}\frac{\partial \rho}{\partial t}.
Simplificando \varepsilon_{0} e \mu_{0} (dividindo por \mu_{0}),
0 = \nabla\cdot\mathbf{J} + \frac{\partial \rho}{\partial t}.
E essa é exatamente a equação da continuidade. Conclusão: a equação de Ampère com o termo de corrente de deslocamento satisfaz automaticamente a conservação local da carga.

Passo 6

Resumo físico e intuição curta (para lembrar na prova):
  • Sem o termo de Maxwell, a equação de Ampère forçaria \dfrac{\partial \rho}{\partial t}=0: cargas não poderiam variar no tempo — isso é inaceitável para processos dinâmicos.
  • O termo \mu_{0}\varepsilon_{0}\dfrac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} representa uma corrente efetiva associada à variação do campo elétrico (corrente de deslocamento). Ele garante que a expressão para \nabla\times\mathbf{B} tenha divergência compatível com a equação da continuidade, fechando matematicamente a conservação de carga.
  • Exemplos práticos: entre as placas de um capacitor em carga não existe corrente de condução, mas o campo elétrico entre as placas varia; a corrente de deslocamento fornece o termo necessário para que a corrente “pareça contínua” através de um circuito fechado (sem quebra da conservação).

Resposta

(a) A aplicação do divergente à Lei de Ampère original dá
0=\mu_{0}\nabla\cdot\mathbf{J}\quad\Rightarrow\quad \nabla\cdot\mathbf{J}=0,
e usando a equação da continuidade resulta em
\frac{\partial \rho}{\partial t}=0,
ou seja, a forma original exige que a densidade de carga não varie no tempo, o que é inconsistente com regimes dinâmicos.
(b) Com a correção de Maxwell
\nabla \times \mathbf{B}=\mu_{0}\mathbf{J}+\mu_{0}\varepsilon_{0}\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t},
fazendo o divergente, usando \nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{B})=0, \nabla\cdot(\partial\mathbf{E}/\partial t)=\partial(\nabla\cdot\mathbf{E})/\partial t e \nabla\cdot\mathbf{E}=\rho/\varepsilon_{0}, obtém-se
0=\mu_{0}\nabla\cdot\mathbf{J}+\mu_{0}\frac{\partial \rho}{\partial t},
isto é,
\nabla\cdot\mathbf{J}+\frac{\partial \rho}{\partial t}=0,
logo a equação corrigida satisfaz plenamente a equação da continuidade.

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