Questão 4. As Equações de Maxwell constituem o pilar do eletromagnetismo clássico. Em sua forma integral, elas relacionam os campos elétrico ( \overrightarrow{\mathbf{E}} ) e magnético ( \overrightarrow{\mathbf{B}} ) no vácuo com suas fontes ao longo de superfícies fechadas ( S ) envolvendo um volume ( V ), e contornos fechados ( C ) delimitando uma superfície (S) :
\begin{aligned} \oint_{S} \overrightarrow{\mathbf{E}} \cdot \mathrm{~d} \overrightarrow{\mathbf{S}} & =\frac{1}{\varepsilon_{0}} \int_{V} \rho \mathrm{~d} V \\\ \oint_{S} \overrightarrow{\mathbf{B}} \cdot \mathrm{~d} \overrightarrow{\mathbf{S}} & =0 \\\ \oint_{C} \overrightarrow{\mathbf{E}} \cdot \mathrm{~d} \overrightarrow{\mathbf{l}} & =-\int_{S} \frac{\partial \overrightarrow{\mathbf{B}}}{\partial t} \cdot \mathrm{~d} \overrightarrow{\mathbf{S}} \\\ \oint_{C} \overrightarrow{\mathbf{B}} \cdot \mathrm{~d} \overrightarrow{\mathbf{l}} & =\int_{S}\left(\mu_{0} \overrightarrow{\mathbf{J}}+\mu_{0} \varepsilon_{0} \frac{\partial \overrightarrow{\mathbf{E}}}{\partial t}\right) \cdot \mathrm{d} \overrightarrow{\mathbf{S}} \end{aligned}
Sabendo que essas igualdades devem ser válidas para qualquer volume ou superfície arbitrária, utilize o Teorema do Divergente e o Teorema de Stokes (deduzidos nas questões anteriores) para reescrever as quatro Equações de Maxwell em sua forma diferencial (local). Explicite as passagens matemáticas para cada uma delas.

Passo 1

O enunciado nos dá as quatro equações de Maxwell em forma integral e pede para reescrevê-las na forma diferencial (local), usando o Teorema do Divergente (Gauss) e o Teorema de Stokes. Vou listar claramente as equações integrais fornecidas e o que é pedido:
  • Equações integrais dadas:
\oint_{S} \overrightarrow{\mathbf{E}} \cdot \mathrm{d}\overrightarrow{\mathbf{S}} = \frac{1}{\varepsilon_{0}} \int_{V} \rho\, \mathrm{d}V
\oint_{S} \overrightarrow{\mathbf{B}} \cdot \mathrm{d}\overrightarrow{\mathbf{S}} = 0
\oint_{C} \overrightarrow{\mathbf{E}} \cdot \mathrm{d}\overrightarrow{\mathbf{l}} = -\int_{S} \frac{\partial \overrightarrow{\mathbf{B}}}{\partial t}\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{\mathbf{S}}
\oint_{C} \overrightarrow{\mathbf{B}} \cdot \mathrm{d}\overrightarrow{\mathbf{l}} = \int_{S}\!\left(\mu_{0}\overrightarrow{\mathbf{J}}+\mu_{0}\varepsilon_{0}\frac{\partial \overrightarrow{\mathbf{E}}}{\partial t}\right)\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{\mathbf{S}}
  • Objetivo: aplicar o Teorema do Divergente e o Teorema de Stokes para transformar cada equação integral em uma equação diferencial equivalente (válida ponto a ponto). É necessário explicitar as passagens matemáticas (cada substituição e o porquê de poder igualar integrandos).

Passo 2

Teorema do Divergente (Gauss): enunciado e ideia.
  • Enunciado matemático (válido para um campo vetorial suficientemente suave \overrightarrow{\mathbf{F}} num volume V com superfície fechada S=\partial V):
\oint_{S} \overrightarrow{\mathbf{F}}\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{\mathbf{S}} = \int_{V} (\nabla\cdot \overrightarrow{\mathbf{F}})\, \mathrm{d}V.
  • Intuição física/geométrica curta: a integral de fluxo do campo através da superfície fechada S é igual à soma (integral) da produção/consumo local de fluxo dentro do volume, medida pelo divergente \nabla\cdot \overrightarrow{\mathbf{F}}.
  • O operador divergente \nabla\cdot \overrightarrow{\mathbf{F}} é uma função escalar que, em cada ponto, mede a taxa de “saída líquida” do campo por unidade de volume — ou seja, quanto o campo diverge daquele ponto.
Vou usar este teorema para transformar integrais sobre S em integrais sobre V, permitindo comparar integrandos dentro de V.

Passo 3

Aplicação do Teorema do Divergente à primeira equação (Lei de Gauss para \overrightarrow{\mathbf{E}}).
  • Parto da forma integral:
\oint_{S} \overrightarrow{\mathbf{E}}\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{\mathbf{S}} = \frac{1}{\varepsilon_{0}} \int_{V} \rho\, \mathrm{d}V.
  • Pelo Teorema do Divergente, substituo a integral de superfície pela integral do divergente sobre V:
\int_{V} (\nabla\cdot \overrightarrow{\mathbf{E}})\, \mathrm{d}V = \frac{1}{\varepsilon_{0}} \int_{V} \rho\, \mathrm{d}V.
  • Agora tenho duas integrais sobre o mesmo volume V. A igualdade é válida para qualquer volume arbitrário V. Se duas integrais de funções são iguais para todo volume arbitrário, então as funções que estão sendo integradas devem ser iguais ponto a ponto (assumindo regularidade suficiente). Logo:
\nabla\cdot \overrightarrow{\mathbf{E}} = \frac{\rho}{\varepsilon_{0}}.
  • Essa é a forma diferencial local da primeira equação.

Passo 4

Aplicação do Teorema do Divergente à segunda equação (Gauss para \overrightarrow{\mathbf{B}}).
  • Forma integral dada:
\oint_{S} \overrightarrow{\mathbf{B}}\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{\mathbf{S}} = 0.
  • Usando o Teorema do Divergente:
\int_{V} (\nabla\cdot \overrightarrow{\mathbf{B}})\, \mathrm{d}V = 0.
  • Como isso vale para qualquer volume V, conclui-se que o integrando deve ser zero ponto a ponto:
\nabla\cdot \overrightarrow{\mathbf{B}} = 0.
  • Essa é a forma diferencial local da segunda equação (expressa matematicamente a inexistência de “monopólos magnéticos” locais).

Passo 5

Teorema de Stokes: enunciado e ideia.
  • Enunciado matemático (para um campo vetorial suficientemente suave \overrightarrow{\mathbf{F}}, curva fechada C=\partial S e superfície S que tem C como bordo):
\oint_{C} \overrightarrow{\mathbf{F}}\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{\mathbf{l}} = \int_{S} (\nabla\times \overrightarrow{\mathbf{F}})\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{\mathbf{S}}.
  • Intuição física/geométrica curta: a circulação total do campo ao longo do contorno C é igual à soma (integral) do “giro local” do campo, dado pelo rotacional \nabla\times \overrightarrow{\mathbf{F}}, sobre a superfície S.
  • O operador rotacional \nabla\times \overrightarrow{\mathbf{F}} é um campo vetorial que mede a tendência local do campo de “girar” em torno de um eixo.
Vou usar Stokes para transformar integrais de linha em integrais de superfície, o que permite comparar vetores que aparecem sob uma mesma integral de superfície.

Passo 6

Aplicação do Teorema de Stokes à terceira equação (Lei de Faraday).
  • Forma integral dada:
\oint_{C} \overrightarrow{\mathbf{E}}\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{\mathbf{l}} = -\int_{S} \frac{\partial \overrightarrow{\mathbf{B}}}{\partial t}\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{\mathbf{S}}.
  • Aplico Stokes ao lado esquerdo:
\int_{S} (\nabla\times \overrightarrow{\mathbf{E}})\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{\mathbf{S}} = -\int_{S} \frac{\partial \overrightarrow{\mathbf{B}}}{\partial t}\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{\mathbf{S}}.
  • Reuno as integrais sobre a mesma superfície:
\int_{S} \left[(\nabla\times \overrightarrow{\mathbf{E}}) + \frac{\partial \overrightarrow{\mathbf{B}}}{\partial t}\right]\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{\mathbf{S}} = 0.
  • A igualdade é válida para qualquer superfície S com contorno C. Mais ainda: o enunciado exige validade para contornos e superfícies arbitrárias, então a expressão entre colchetes deve ser nula ponto a ponto no espaço (isto é, para cada ponto da superfície e, por arbitrariedade da superfície, em toda região). Portanto:
\nabla\times \overrightarrow{\mathbf{E}} = -\frac{\partial \overrightarrow{\mathbf{B}}}{\partial t}.
  • Essa é a forma diferencial local da Lei de Faraday.

Passo 7

Aplicação do Teorema de Stokes à quarta equação (Lei de Ampère–Maxwell).
  • Forma integral dada:
\oint_{C} \overrightarrow{\mathbf{B}}\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{\mathbf{l}} = \int_{S}\left(\mu_{0}\overrightarrow{\mathbf{J}}+\mu_{0}\varepsilon_{0}\frac{\partial \overrightarrow{\mathbf{E}}}{\partial t}\right)\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{\mathbf{S}}.
  • Aplico Stokes ao lado esquerdo:
\int_{S} (\nabla\times \overrightarrow{\mathbf{B}})\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{\mathbf{S}} = \int_{S}\left(\mu_{0}\overrightarrow{\mathbf{J}}+\mu_{0}\varepsilon_{0}\frac{\partial \overrightarrow{\mathbf{E}}}{\partial t}\right)\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{\mathbf{S}}.
  • Trago tudo para um único integrando:
\int_{S} \left[(\nabla\times \overrightarrow{\mathbf{B}}) - \mu_{0}\overrightarrow{\mathbf{J}} - \mu_{0}\varepsilon_{0}\frac{\partial \overrightarrow{\mathbf{E}}}{\partial t}\right]\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{\mathbf{S}} = 0.
  • Como a igualdade vale para qualquer superfície S arbitrária, o vetor dentro dos colchetes deve ser zero ponto a ponto. Assim:
\nabla\times \overrightarrow{\mathbf{B}} = \mu_{0}\overrightarrow{\mathbf{J}} + \mu_{0}\varepsilon_{0}\frac{\partial \overrightarrow{\mathbf{E}}}{\partial t}.
  • Essa é a forma diferencial local da Lei de Ampère com o termo de Maxwell (corrente de deslocamento).

Passo 8

Comentário sobre o passo “integral implica pontual”: por que podemos igualar integrandos?
  • Raciocínio: se para todo volume V arbitrário vale \int_V f(\mathbf{r})\,\mathrm{d}V = \int_V g(\mathbf{r})\,\mathrm{d}V, então \int_V [f(\mathbf{r})-g(\mathbf{r})]\,\mathrm{d}V=0 para todo V. Isso implica que f-g é zero quase em todos os pontos; com hipóteses de regularidade (continuidade, suavidade) comuns em campos físicos, conclui-se que f(\mathbf{r})=g(\mathbf{r}) ponto a ponto. O mesmo argumento vale para integrais sobre superfícies arbitrárias; por isso as transformações acima são permitidas e levam às formas diferenciais locais.

Resposta

\nabla\cdot \overrightarrow{\mathbf{E}} = \frac{\rho}{\varepsilon_{0}}
\nabla\cdot \overrightarrow{\mathbf{B}} = 0
\nabla\times \overrightarrow{\mathbf{E}} = -\frac{\partial \overrightarrow{\mathbf{B}}}{\partial t}
\nabla\times \overrightarrow{\mathbf{B}} = \mu_{0}\overrightarrow{\mathbf{J}} + \mu_{0}\varepsilon_{0}\frac{\partial \overrightarrow{\mathbf{E}}}{\partial t}

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