Questão 4. As Equações de Maxwell constituem o pilar do eletromagnetismo clássico. Em sua forma integral, elas relacionam os campos elétrico ( \overrightarrow{\mathbf{E}} ) e magnético ( \overrightarrow{\mathbf{B}} ) no vácuo com suas fontes ao longo de superfícies fechadas ( S ) envolvendo um volume ( V ), e contornos fechados ( C ) delimitando uma superfície (S) :
Sabendo que essas igualdades devem ser válidas para qualquer volume ou superfície arbitrária, utilize o Teorema do Divergente e o Teorema de Stokes (deduzidos nas questões anteriores) para reescrever as quatro Equações de Maxwell em sua forma diferencial (local). Explicite as passagens matemáticas para cada uma delas.
Passo 1
O enunciado nos dá as quatro equações de Maxwell em forma integral e pede para reescrevê-las na forma diferencial (local), usando o Teorema do Divergente (Gauss) e o Teorema de Stokes. Vou listar claramente as equações integrais fornecidas e o que é pedido:
Objetivo: aplicar o Teorema do Divergente e o Teorema de Stokes para transformar cada equação integral em uma equação diferencial equivalente (válida ponto a ponto). É necessário explicitar as passagens matemáticas (cada substituição e o porquê de poder igualar integrandos).
Passo 2
Teorema do Divergente (Gauss): enunciado e ideia.
Enunciado matemático (válido para um campo vetorial suficientemente suave \overrightarrow{\mathbf{F}} num volume V com superfície fechada S=\partial V):
Intuição física/geométrica curta: a integral de fluxo do campo através da superfície fechada S é igual à soma (integral) da produção/consumo local de fluxo dentro do volume, medida pelo divergente \nabla\cdot \overrightarrow{\mathbf{F}}.
O operador divergente \nabla\cdot \overrightarrow{\mathbf{F}} é uma função escalar que, em cada ponto, mede a taxa de “saída líquida” do campo por unidade de volume — ou seja, quanto o campo diverge daquele ponto.
Vou usar este teorema para transformar integrais sobre S em integrais sobre V, permitindo comparar integrandos dentro de V.
Passo 3
Aplicação do Teorema do Divergente à primeira equação (Lei de Gauss para \overrightarrow{\mathbf{E}}).
Agora tenho duas integrais sobre o mesmo volume V. A igualdade é válida para qualquer volume arbitrário V. Se duas integrais de funções são iguais para todo volume arbitrário, então as funções que estão sendo integradas devem ser iguais ponto a ponto (assumindo regularidade suficiente). Logo:
Como isso vale para qualquer volume V, conclui-se que o integrando deve ser zero ponto a ponto:
\nabla\cdot \overrightarrow{\mathbf{B}} = 0.
Essa é a forma diferencial local da segunda equação (expressa matematicamente a inexistência de “monopólos magnéticos” locais).
Passo 5
Teorema de Stokes: enunciado e ideia.
Enunciado matemático (para um campo vetorial suficientemente suave \overrightarrow{\mathbf{F}}, curva fechada C=\partial S e superfície S que tem C como bordo):
Intuição física/geométrica curta: a circulação total do campo ao longo do contorno C é igual à soma (integral) do “giro local” do campo, dado pelo rotacional \nabla\times \overrightarrow{\mathbf{F}}, sobre a superfície S.
O operador rotacional \nabla\times \overrightarrow{\mathbf{F}} é um campo vetorial que mede a tendência local do campo de “girar” em torno de um eixo.
Vou usar Stokes para transformar integrais de linha em integrais de superfície, o que permite comparar vetores que aparecem sob uma mesma integral de superfície.
Passo 6
Aplicação do Teorema de Stokes à terceira equação (Lei de Faraday).
A igualdade é válida para qualquer superfície S com contorno C. Mais ainda: o enunciado exige validade para contornos e superfícies arbitrárias, então a expressão entre colchetes deve ser nula ponto a ponto no espaço (isto é, para cada ponto da superfície e, por arbitrariedade da superfície, em toda região). Portanto:
Essa é a forma diferencial local da Lei de Ampère com o termo de Maxwell (corrente de deslocamento).
Passo 8
Comentário sobre o passo “integral implica pontual”: por que podemos igualar integrandos?
Raciocínio: se para todo volume V arbitrário vale \int_V f(\mathbf{r})\,\mathrm{d}V = \int_V g(\mathbf{r})\,\mathrm{d}V, então \int_V [f(\mathbf{r})-g(\mathbf{r})]\,\mathrm{d}V=0 para todo V. Isso implica que f-g é zero quase em todos os pontos; com hipóteses de regularidade (continuidade, suavidade) comuns em campos físicos, conclui-se que f(\mathbf{r})=g(\mathbf{r}) ponto a ponto. O mesmo argumento vale para integrais sobre superfícies arbitrárias; por isso as transformações acima são permitidas e levam às formas diferenciais locais.