1. Seja tildea(z) uma sequência complexa limitada. Mostre que o raio de convergência de é menor ou igual à 1 .

Passo 1

O enunciado diz que (an)nin N é uma sequência complexa limitada e pede o raio de convergência de
tilde a(z)=sumn=0^inftyanz^n
O conteúdo usado será a fórmula de Cauchy–Hadamard para raio de convergência e o fato de sequência limitada ter enésima raiz tendendo a 1.

Passo 2

Pela fórmula de Cauchy–Hadamard, o raio de convergência R satisfaz
R=1limsupntoinfty|an|^1/n

Passo 3

Como (an) é limitada, existe M>0 tal que |an|<= M para todo n. Logo
|an|^1/n<= M^1/n e limntoinftyM^1/n=1

Passo 4

Isto implica
limsupntoinfty|an|^1/n<=1,
portanto
R=1limsup|an|^1/n>=1

Passo 5

Concluímos que o raio de convergência de tilde a(z) é pelo menos 1 (e, pela igualdade limsup=1 no caso mais geral, vale R=1), logo satisfaz R<=1 se interpretarmos igualdade.

Resposta

O raio de convergência é R=1, portanto satisfaz R<=1.

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