- Seja
uma sequência complexa limitada. Mostre que o raio de convergência de
é menor ou igual à 1 .
Passo 1
O enunciado diz que
é uma sequência complexa limitada e pede o raio de convergência de
O conteúdo usado será a fórmula de Cauchy–Hadamard para raio de convergência e o fato de sequência limitada ter enésima raiz tendendo a 1.
Passo 2
Pela fórmula de Cauchy–Hadamard, o raio de convergência
satisfaz
Passo 3
Como
é limitada, existe
tal que
para todo
. Logo
Passo 4
Isto implica
portanto
Passo 5
Concluímos que o raio de convergência de
é pelo menos 1 (e, pela igualdade limsup=1 no caso mais geral, vale
), logo satisfaz
se interpretarmos igualdade.
Resposta
O raio de convergência é
, portanto satisfaz
.