Mostre que (A times B) cdot(A times B)=(A B)^2-(A cdot B)^2.

Passo 1

Beleza, a questão pede pra mostrar que
(A times B) cdot (A times B) = (A,B)^2 - (A cdot B)^2
Isso é um exercício de álgebra vetorial: vamos usar a definição de produto vetorial (cross) e produto escalar (dot), além das fórmulas de magnitude e da relação entre seno e cosseno.

Passo 2

Primeiro, nota que para qualquer vetor C cdot C = |C|^2, vale
(A times B) cdot (A times B) = |A times B|^2
ou seja, o produto escalar de um vetor por ele mesmo dá o quadrado da sua norma (magnitude). Então, tomando , temos

Passo 3

Agora, lembra que a magnitude do produto vetorial é
|A times B| = |A|,|B|;sintheta,
onde |A times B|^2 = (A,B)^2,sin^2theta é o ângulo entre e . Se chamarmos e , então

Passo 4

Falta ligar isso com Acdot B = A,B,costheta . Sabemos que
(A,B)^2,sin^2theta = (A,B)^2l(1 - cos^2thetar) = (A,B)^2 - (A,B)^2cos^2theta
E da trigonometria básica vem que |A times B|^2 = (A,B)^2 - (Acdot B)^2 . Então
Mas . Logo

Resposta

Logo, mostramos que
(A times B) cdot (A times B) = (A,B)^2 - (A cdot B)^2

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