Verifique que três vetores linearmente dependentes são coplanares.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar que três vetores que são linearmente dependentes estão coplanares. Estamos falando de Álgebra Linear, especificamente sobre vetores, dependência linear e coplanaridade. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa vetores serem linearmente dependentes e o que é coplanaridade.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são vetores linearmente dependentes. Três vetores são linearmente dependentes se pelo menos um deles pode ser escrito como uma combinação linear dos outros dois. Isso significa que existe uma relação onde uma combinação dos vetores resulta no vetor zero.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre coplanaridade. Três vetores são coplanares se eles todos estiverem no mesmo plano. Em termos matemáticos, isso significa que não há um “espaço extra” que permite que os três vetores se estendam além de um único plano.
Passo 4
Para relacionar as duas ideias, vamos usar o conceito de determinante. Se formos colocar os três vetores como colunas ou linhas de uma matriz e calcular o determinante dessa matriz, se o determinante for zero, isso indica que os vetores são linearmente dependentes e, portanto, coplanares.
Passo 5
Então, para verificar se três vetores são coplanares devido à sua dependência linear, basta montar a matriz com esses vetores e calcular o determinante. Se o determinante for zero, confirmamos que os vetores estão no mesmo plano.
Resposta
Assim, mostramos que três vetores linearmente dependentes têm determinante zero e, portanto, são coplanares.