Verifique quais das EDOs de primeira ordem abaixo são exatas e, nos casos de respostas positivas, determine suas respectivas soluções.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de primeira ordem é exata. Se for, a gente também precisa encontrar a solução dela. A EDO que a gente tem é:
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma EDO exata e como identificar se uma equação é exata. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação no formato padrão das EDOs exatas, que é:
Comparando com a nossa equação:
Passo 3
Agora, para verificar se a EDO é exata, precisamos calcular as derivadas parciais de $ M $ em relação a $ y $ e de $ N $ em relação a $ x $, e ver se elas são iguais. Ou seja, precisamos verificar se:
Vamos calcular:
Como $ \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x} = 0 $, a equação é exata.
Passo 4
Como a EDO é exata, podemos encontrar uma função potencial $ F(x, y) $ tal que:
Vamos integrar $ M $ em relação a $ x $ para encontrar $ F(x, y) $:
Aqui, $ h(y) $ é uma função de $ y $ que ainda precisamos determinar.
Passo 5
Agora, derivamos $ F(x, y) $ em relação a $ y $ e igualamos a $ N(x, y) $:
Integrando $ h’(y) $ em relação a $ y $:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 6
Agora, juntamos tudo para obter a função potencial completa:
Como $ F(x, y) = constante $, temos a solução geral da EDO:
Resposta
A EDO é exata e sua solução geral é: