(a) Mostre que toda função estritamente crescente
(ou estritamente decrescente) é injetora. (b) Suponha que
seja estritamente crescente. O que se pode afirmar sobre sua inversa
quanto ao crescimento?
é estritamente crescente se, para cada
temos
. Defina você o que seria
estritamente decrescente.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
– (a) Mostrar que toda função estritamente crescente (ou estritamente decrescente) é injetora.
– (b) Se é estritamente crescente e, portanto, bijetora em seu contradomínio, o que podemos dizer sobre o crescimento de
?.
Para isso usaremos a definição de injeção e a definição de estritamente decrescente:
– (a) Mostrar que toda função estritamente crescente (ou estritamente decrescente) é injetora.
– (b) Se
Para isso usaremos a definição de injeção e a definição de estritamente decrescente:
Passo 2
Prova de injetividade para
estritamente crescente.
Queremos mostrar que
Queremos mostrar que
Pela propriedade da ordem real, dados
existem três casos:
-
. -
. -
.
Se, a hipótese de crescimento estrito dá
o que contradiz
.
Se , aplicando a mesma hipótese trocando os papéis, obteríamos
Se
também contradizendo
.
Logo a única possibilidade não contraditória é , e
é injetora.
Logo a única possibilidade não contraditória é
Passo 3
Prova de injetividade para
estritamente decrescente.
Definida a decrescência estrita por
Definida a decrescência estrita por
o mesmo argumento de tricotomia vale: se
e
então
, contradição; se
obtemos também contradição. Assim,
e
é injetora.
Passo 4
Monotonicidade de
quando
é estritamente crescente.
Suponha no contradomínio de
com
. Como
é bijetora sobre esse contradomínio, existem únicos
tais que
Suponha
Então
. Como
é estritamente crescente, isso implica
. Mas
, logo
o que mostra que
também é estritamente crescente.
Resposta
(a) Qualquer função estritamente crescente ou estritamente decrescente é injetora.
(b) Se é estritamente crescente então sua inversa
também é estritamente crescente.
(b) Se