(a) Mostre que toda função estritamente crescente ^1 (ou estritamente decrescente) é injetora. (b) Suponha que f seja estritamente crescente. O que se pode afirmar sobre sua inversa f^-1 quanto ao crescimento?
^1 f: D R é estritamente crescente se, para cada x1, x2 in D com x1<x2 temos f(x1)<f(x2). Defina você o que seria f estritamente decrescente.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
– (a) Mostrar que toda função estritamente crescente (ou estritamente decrescente) é injetora.
– (b) Se é estritamente crescente e, portanto, bijetora em seu contradomínio, o que podemos dizer sobre o crescimento de ?.
Para isso usaremos a definição de injeção e a definição de estritamente decrescente:

Passo 2

Prova de injetividade para f estritamente crescente.
Queremos mostrar que
se f(x1)=f(x2) então x1=x2 ã
Pela propriedade da ordem real, dados x1,x2 existem três casos:
  1. x1<x2.
  2. x1=x2.
  3. x1>x2.
    Se x1<x2, a hipótese de crescimento estrito dá
f(x1)<f(x2),
o que contradiz f(x1)=f(x2).
Se x1>x2, aplicando a mesma hipótese trocando os papéis, obteríamos
f(x2)<f(x1),
também contradizendo f(x1)=f(x2).
Logo a única possibilidade não contraditória é x1=x2, e f é injetora.

Passo 3

Prova de injetividade para f estritamente decrescente.
Definida a decrescência estrita por
x1<x2implies f(x1)>f(x2),
o mesmo argumento de tricotomia vale: se f(x1)=f(x2) e x1<x2 então f(x1)>f(x2), contradição; se x1>x2 obtemos também contradição. Assim, x1=x2 e f é injetora.

Passo 4

Monotonicidade de f^-1 quando f é estritamente crescente.
Suponha y1,y2 no contradomínio de f com y1<y2. Como f é bijetora sobre esse contradomínio, existem únicos x1,x2 tais que
y1=f(x1), y2=f(x2)
Então f(x1)<f(x2). Como f é estritamente crescente, isso implica x1<x2. Mas xi=f^-1(yi), logo
f^-1(y1)<f^-1(y2),
o que mostra que f^-1 também é estritamente crescente.

Resposta

(a) Qualquer função estritamente crescente ou estritamente decrescente é injetora.
(b) Se f é estritamente crescente então sua inversa f^-1 também é estritamente crescente.

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