Resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes indeterminados.
y^prime prime-2 y^prime-3 y=4 t-5+6 t e^2 t

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial não homogênea
y'' - 2y' - 3y = 4t - 5 + 6t,e^2t
pelo método dos coeficientes indeterminados. Vamos precisar de:
– solução geral da homogênea associada,
– uma parte particular para o termo polinomial 4t-5,
– outra parte particular para o termo exponencial 6t,e^2t.

Passo 2

Começamos pela equação homogênea
y'' - 2y' - 3y = 0
O polinômio característico é
r^2 - 2r - 3 = 0
com raízes r=3 e r=-1. Portanto a solução geral homogênea é
yh(t) = C1 e^3t + C2 e^-t

Passo 3

Para o termo 4t-5 fazemos a suposição polinomial
yp1(t) = A t + B
Calculamos
yp1' = A, yp1'' = 0
e substituímos em y'' - 2y' - 3y = 4t - 5:
0 - 2A - 3(A t + B) = -3A,t - (2A+3B) ;overset!=;4t -5
Igualando coeficientes de t e termo constante:
-3A = 4Longrightarrow A = -tfrac43,
-(2A + 3B) = -5Longrightarrow2A +3B = 5 ;Rightarrow;3B = 5 + tfrac83 = tfrac233 ;Rightarrow;B = tfrac239
Logo
yp1(t) = -tfrac43,t + tfrac239

Passo 4

Para o termo 6t,e^2t suponhamos
yp2(t) = (C t + D),e^2t
Calculemos derivadas: seja u = C t + D, então
yp2' = l(u' + 2ur)e^2t = l(C + 2(Ct + D)r)e^2t = (2C t + (2D + C))e^2t,
yp2'' = l(2C + 2(2C t + (2D + C))r)e^2t = (4C t + (4C + 4D))e^2t
Substituindo em y'' - 2y' -3y = 6t,e^2t:
(4C t + (4C+4D))e^2t -2(2C t + (2D + C))e^2t -3(Ct + D)e^2t = [-3C,t + (2C - 3D)]e^2t ;overset!=;6t,e^2t
Igualando coeficientes:
-3C = 6Longrightarrow C = -2,
2C - 3D = 0Longrightarrow -4 - 3D = 0 ;Rightarrow;D = -tfrac43
Portanto
yp2(t) = l(-2t - tfrac43r)e^2t

Passo 5

A solução particular completa é
yp(t) = yp1(t) + yp2(t) = -tfrac43t + tfrac239 ;-;(2t + tfrac43),e^2t
Assim, a solução geral da equação original é
y(t) = yh(t) + yp(t) = C1 e^3t + C2 e^-t -tfrac43t + tfrac239 ;-;(2t + tfrac43),e^2t

Resposta

boxedy(t) = C1 e^3t + C2 e^-t -tfrac43t + tfrac239 -(2t + tfrac43),e^2t

Exercícios relacionados