(a) Mostre que, para todo complexo z neq 1 e todo n in N, tem-se
1+z+z^2+ldots+z^n-1=z^n-1z-1
(b) Mostre que se omega é uma raiz n-ésima da unidade diferente de 1 , então
1+omega+omega^2+ldots+omega^n-1=0
© Usando as soluções das n-ésimas raízes da unidade ou seja z^n=1. Se n=2,3, ldots, prove que
& cos 2 pin+cos 4 pin+cdots+cos 2(n-1) pin=-1 & sen 2 pin+sen 4 pin+cdots+sen 2(n-1) pin=0

Passo 1

O enunciado pede três coisas: (a) demonstrar a soma de uma progressão geométrica em
úmeros complexos, (b) aplicar isso a uma raiz n-ésima da unidade para ver que a soma é zero, e © usar as n-ésimas raízes de 1 para obter fórmulas de somas de cossenos e senos. Vamos precisar dos conceitos de progressão geométrica complexa, raízes da unidade e partes real e imaginária de números complexos.

Passo 2

Para provar que para todo complexo zneq1 e ninN
1+z+z^2+cdots+z^n-1=z^n-1z-1,
multiplicamos ambos os lados de S=1+z+cdots+z^n-1 por z-1:
(z-1)S = (z-1)(1+z+cdots+z^n-1) = z+z^2+cdots+z^n - (1+z+cdots+z^n-1) = z^n - 1
Como zneq1, basta dividir por z-1 para obter a fórmula.

Passo 3

Tomando agora omega tal que omega^n=1 e omeganeq1, aplicamos o resultado acima com z=omega:
1+omega+omega^2+cdots+omega^n-1=omega^n-1omega-1=1-1omega-1=0

Passo 4

As raízes n-ésimas da unidade são omegak=e^2pi i k/n para k=0,1,dots,n-1. Sabemos que
sumk=0^n-1omegak=0
Separamos parte real e imaginária dessa soma zero: para a parte real
sumk=0^n-1cos2pi kn=0
e para a parte imaginária
sumk=0^n-1sen2pi kn=0

Passo 5

Observando que cos0=1 e sen0=0, podemos retirar o termo k=0 dos somatórios e obter
1+sumk=1^n-1cos2pi kn=0Rightarrowsumk=1^n-1cos2pi kn=-1,
0+sumk=1^n-1sen2pi kn=0Rightarrowsumk=1^n-1sen2pi kn=0

Resposta

(a) 1+z+z^2+cdots+z^n-1=z^n-1z-1 para todo zneq1 e ninN. (b) Se omega^n=1 e omeganeq1, então 1+omega+omega^2+cdots+omega^n-1=0. © sumk=1^n-1cos2pi kn=-1 e sumk=1^n-1sen2pi kn=0.

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