(a) Mostre que, para todo complexo
e todo
, tem-se
(b) Mostre que se
é uma raiz
-ésima da unidade diferente de 1 , então
© Usando as soluções das
-ésimas raízes da unidade ou seja
. Se
, prove que
Passo 1
O enunciado pede três coisas: (a) demonstrar a soma de uma progressão geométrica em
úmeros complexos, (b) aplicar isso a uma raiz n-ésima da unidade para ver que a soma é zero, e © usar as n-ésimas raízes de 1 para obter fórmulas de somas de cossenos e senos. Vamos precisar dos conceitos de progressão geométrica complexa, raízes da unidade e partes real e imaginária de números complexos.
úmeros complexos, (b) aplicar isso a uma raiz n-ésima da unidade para ver que a soma é zero, e © usar as n-ésimas raízes de 1 para obter fórmulas de somas de cossenos e senos. Vamos precisar dos conceitos de progressão geométrica complexa, raízes da unidade e partes real e imaginária de números complexos.
Passo 2
Para provar que para todo complexo
e
multiplicamos ambos os lados de
por
:
Como
, basta dividir por
para obter a fórmula.
Passo 3
Tomando agora
tal que
e
, aplicamos o resultado acima com
:
Passo 4
As raízes n-ésimas da unidade são
para
. Sabemos que
Separamos parte real e imaginária dessa soma zero: para a parte real
e para a parte imaginária
Passo 5
Observando que
e
, podemos retirar o termo
dos somatórios e obter
Resposta
(a)
para todo
e
. (b) Se
e
, então
. ©
e
.