Represente geometricamente o conjunto das imagens dos complexos z tais que:
Im(z)>0 e Re(z^2)>1.

Passo 1

O enunciado pede a representação geométrica do conjunto de zinC tais que Im(z)>0 e Re(z^2)>1. Vamos usar a identificação z=x+iy, com x,yinR, e traduzir essas duas condições em desigualdades em x e y.

Passo 2

Como Im(z)>0, temos simplesmente
y>0

Passo 3

Calculamos z^2 no formato x+iy:
z^2 = (x+iy)^2 = x^2 - y^2 + i,(2xy),
portanto
Re(z^2) = x^2 - y^2

Passo 4

A condição Re(z^2)>1 fica
x^2 - y^2 > 1
Isso é a região exterior à hipérbole de equação
x^2 - y^2 = 1,
isto é,
x^2 - y^2 > 1 Long<=ftrightarrow |x| > raiz1 + y^2

Passo 5

A interseção das duas condições é
l(x,y)inR^2 : y>0 e x^2 - y^2 > 1r
Geométricamente, na metade superior do plano ( y>0), sobraram duas regiões desconexas: uma à direita do ramo da hipérbole dado por x = +raiz1+y^2 e outra à esquerda do ramo dado por x = -raiz1+y^2.

Resposta

O conjunto é a porção da meia-plano superior y>0 que fica fora da hipérbole x^2 - y^2 = 1, ou seja,
(x,y)inR^2 : y>0 e x^2 - y^2 > 1,
composta pelas duas “asas” acima dos ramos da hipérbole.

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