Usando a Fórmula exponencial z=r e^i theta, junto com as igualdades cos (theta)=e^i theta+e^-i theta2 e sen(theta)=e^i theta-e^-i theta2 i obtenhas as fórmulas trigonométricas seguintes
cos (theta1+theta2) & =cos (theta1) cos (theta2)-sen(theta1) sen(theta2) sen(theta1+theta2) & =sen(theta1) cos (theta1)+sen(theta2) cos (theta2)

Passo 1

O enunciado pede para derivar as fórmulas de adição de ângulos usando a representação exponencial
e^itheta=costheta + i,sentheta
e as igualdades
costheta=e^itheta+e^-itheta2,
sentheta=e^itheta-e^-itheta2i.

Passo 2

Pela fórmula de Euler aplicada a theta1+theta2 temos
e^i(theta1+theta2)=e^itheta1,e^itheta2, e^-i(theta1+theta2)=e^-itheta1,e^-itheta2,
e sabemos também que, para k=1,2,
e^pm ithetak=costhetakpm i,senthetak

Passo 3

Para obter cos(theta1+theta2), usamos
cos(theta1+theta2) =e^i(theta1+theta2)+e^-i(theta1+theta2)2
Substituindo
e^itheta1e^itheta2 =(costheta1+i,sentheta1)(costheta2+i,sentheta2) =l(costheta1costheta2-sentheta1sentheta2r) +il(sentheta1costheta2+costheta1sentheta2r),
e^-itheta1e^-itheta2 =l(costheta1costheta2-sentheta1sentheta2r) -il(sentheta1costheta2+costheta1sentheta2r),
e somando-as vemos que o termo imaginário se anula, resultando em
cos(theta1+theta2) =costheta1costheta2-sentheta1sentheta2

Passo 4

Para sen(theta1+theta2), usamos
sen(theta1+theta2) =e^i(theta1+theta2)-e^-i(theta1+theta2)2i
Subtraindo as mesmas duas expressões de e^itheta1e^itheta2 e e^-itheta1e^-itheta2, o termo real se anula, sobrando
sen(theta1+theta2) =sentheta1costheta2+costheta1sentheta2

Resposta

cos(theta1+theta2) =costheta1costheta2-sentheta1sentheta2, sen(theta1+theta2) =sentheta1costheta2+costheta1sentheta2

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