Mostre que todo espaço vetorial finitamente gerado sobre
é uma soma direta de subespaços vetoriais de dimensão 1 .
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se
é um espaço vetorial finitamente gerado sobre
, então ele se decompõe como soma direta de subespaços de dimensão 1. O conteúdo principal é o conceito de base em espaços vetoriais finito-dimensionais e a definição de soma direta de subespaços.
Passo 2
Como
é finitamente gerado, existe uma base finita
de
. Por definição de base, esses vetores geram
e são linearmente independentes. Logo
e todo vetor
pode ser escrito de forma única como combinação linear
Passo 3
Para cada
, defina o subespaço
Claramente
.
Passo 4
Mostramos que a soma
recobre todo
. De fato, dado
, pela representação em termos da base temos
onde
. Assim
logo
Passo 5
Resta verificar que essa soma é direta. Suponha
Como
, existe
tal que
. Então
Pela independência linear de
segue
para todo
, e portanto
. Isso mostra que a soma é direta:
Resposta
onde cada
tem dimensão 1.