Mostre que todo espaço vetorial finitamente gerado sobre K é uma soma direta de subespaços vetoriais de dimensão 1 .

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se V é um espaço vetorial finitamente gerado sobre K, então ele se decompõe como soma direta de subespaços de dimensão 1. O conteúdo principal é o conceito de base em espaços vetoriais finito-dimensionais e a definição de soma direta de subespaços.

Passo 2

Como V é finitamente gerado, existe uma base finita v1,v2,dots,vn de V. Por definição de base, esses vetores geram V e são linearmente independentes. Logo
dim V = n
e todo vetor vin V pode ser escrito de forma única como combinação linear
v = lambda1 v1 + lambda2 v2 + cdots + lambdan vn, lambdaiinK

Passo 3

Para cada i=1,2,dots,n, defina o subespaço
Ui = spanvi = ,alpha,vi : alphainK
Claramente dim Ui=1.

Passo 4

Mostramos que a soma sumi=1^n Ui recobre todo V. De fato, dado vin V, pela representação em termos da base temos
v = lambda1 v1 + cdots + lambdan vn
onde lambdai viin Ui. Assim
v = (lambda1 v1) + cdots + (lambdan vn);in;U1 + cdots + Un,
logo
V = U1 + U2 + cdots + Un

Passo 5

Resta verificar que essa soma é direta. Suponha
u1 + u2 + cdots + un = 0, uiin Ui
Como uiin Ui, existe lambdaiinK tal que ui=lambdai vi. Então
lambda1 v1 + lambda2 v2 + cdots + lambdan vn = 0
Pela independência linear de v1,dots,vn segue lambdai=0 para todo i, e portanto ui=0. Isso mostra que a soma é direta:
U1oplus U2opluscdotsoplus Un

Resposta

V = U1 oplus U2 oplus cdots oplus Un,
onde cada Ui tem dimensão 1.

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