Considere o subespaço vetorial W de P4(R) gerado pelo conjunto
A=c 1+2 x+x^2+3 x^3+x^4, 1-2 x-2 x^2-2 x^3-3 x^4 2-x^2+x^3-2 x^4, x-x^3+x^4, 3 x^2+6 x^3+3 x^4
Determine uma base beta de W que esteja contida em A.

Passo 1

O enunciado pede uma base de Wsubset P4(R) gerado por cinco polinômios
p1=1+2x+x^2+3x^3+x^4, p2=1-2x-2x^2-2x^3-3x^4,
p3=2 - x^2 + x^3 - 2x^4, p4=x - x^3 + x^4, p5=3x^2+6x^3+3x^4
Como dim W<=5 e queremos uma base contida em p1,dots,p5, basta encontrar qual polinômio é combinação linear dos demais e descartar um elemento, ficando com 4 vetores independentes.

Passo 2

Para ver dependências, escrevemos cada pi como vetor de coeficientes na base 1,x,x^2,x^3,x^4:
p1sim(1,2,1,3,1),;p2sim(1,-2,-2,-2,-3),;p3sim(2,0,-1,1,-2),
p4sim(0,1,0,-1,1),;p5sim(0,0,3,6,3)
Aplicando eliminação de Gauss (ou simplesmente comparando linhas), notamos que a linha de p2 coincide com a de p3-p1.

Passo 3

De fato,
p3-p1=(2,0,-1,1,-2)-(1,2,1,3,1)=(1,-2,-2,-2,-3),
que é exatamente o vetor de p2. Logo
p2=p3-p1,
ou seja, p2 é combinação linear de p1 e p3, e não contribui com dimensão nova.

Passo 4

Como p1,p3,p4,p5 são quatro polinômios e não há outra dependência (verificável por eliminação ou observação direta nos coeficientes), eles são linearmente independentes e geram W.

Resposta

beta=l,1+2x+x^2+3x^3+x^4,;2 - x^2 + x^3 - 2x^4,;x - x^3 + x^4,;3x^2+6x^3+3x^4r

Exercícios relacionados