Como dim W<=5 e queremos uma base contida em p1,dots,p5, basta encontrar qual polinômio é combinação linear dos demais e descartar um elemento, ficando com 4 vetores independentes.
Passo 2
Para ver dependências, escrevemos cada pi como vetor de coeficientes na base 1,x,x^2,x^3,x^4:
Aplicando eliminação de Gauss (ou simplesmente comparando linhas), notamos que a linha de p2 coincide com a de p3-p1.
Passo 3
De fato,
p3-p1=(2,0,-1,1,-2)-(1,2,1,3,1)=(1,-2,-2,-2,-3),
que é exatamente o vetor de p2. Logo
p2=p3-p1,
ou seja, p2 é combinação linear de p1 e p3, e não contribui com dimensão nova.
Passo 4
Como p1,p3,p4,p5 são quatro polinômios e não há outra dependência (verificável por eliminação ou observação direta nos coeficientes), eles são linearmente independentes e geram W.